Une intégrale définie ^ telle que
f{x,9)dx.
varie avec la valeur attribuée au paramètre a dans la fonction Jlx^a). C'est une nouvelle fonction de a , d'où la variable x a disparu , et que nous pouvons indiquer par Fa. Admettons maintenant que a reçoive l'incrément infiniment petit da : on aura
Fa-^//.Fa=^ V(^»«) -♦- ^^^^^^ ^]^>
J a uOL
OU
ou bien enfin , à cause que le facteur chi ne varie point avec X j
doL J a dcL
et en remettant pour Fa sa valeur ,
da Ja doL *
ce qui montre que l'on peut faire passer sous le signe / le signe de différentiation placé en dehors j et réciproqûe-
114 LIVRE V. — CHAPITRE Vil.
ment ; au moins lorsque les limites de Tintégration sont indépendantes du paramètre variable.
Si Ton avait au contraire
il viendrait, dans le cas où l'intégrale pourlrait être traitée comme une somme d'éléments différentiels,
J a-\'da dOL
d'où l'on tire ^ en négligeant les infiniment petits du second ordre , et en mettant pour Uj b^ da^ db^ leurs valeurs ,
J t^% av.
et par suite
"^7 « -^^^^^— y(?a>a).9'a-|-/(^|;a,a).fa.
Ce calcul suppose que la fonction J{x^ai) ne devient point infinie entre les limites de l'intégrale : les résultats en seront rendus plus sensibles par une construction graphique. Soit MN (Jig, 88) la courbe qui a pour abscisse x et pour ordonnéey(j;,a), de manière que l'intégrale définie Fa mesure l'aire comprise entre la courbe MN , l'axe des abscisses et les ordonnées MP,NQ qui correspondent respectivement aux abscisses OP=a, OQ=:é. Par la variation de l'ordonnée courante (les abscisses des points extrêmes ne changeant pas), la courbe se transporte en IM'KN\ et l'aire augmente du quadrilatère curviligne
DE L4 VARIilTIOlf DES INTÉGRALES. 115
MNKI. Par la variation des limites a^ b qui deviennent a-|-d!a=OP', A-|-é/i=:OQ' (l'ordonnée courante ne changeant pas) y Taire augmente du quadrilatère NQQ'K' et diminue du quadrilatère MPPT. Ces trois quadrilatères 9 traités comme des quantités infiniment petites du premier ordre j ont respectivement pour mesure
les quadrilatères MIMl' , NRN'R' ont pour mesure les termes infiniment petits du second ordre
dùL aoL
que l'on néglige dans le calcul de la variation totale de Taire Fa y lorsqu'on fait varier simultanément l'ordonnée courante /(^,a) et les limites a, b.
. 367. Supposons, pour plus de simplicité, que les limites a, b soient indépendantes de a. On peut demander ([uelle est la valeur numérique du paramètre a, qui
rend un maximum ou un minimum l'intégrale définie
rh Fa = / y (x,a) dx.
Si la fonction Fa pouvait être exprimée algébriquement, on satisferait à la question en prenant pour a la racine de l'équation F'a=o; et comme on a aussi, d'après ce qui précède,
J a da.
il suffira que l'intégrale, formant le second membre de cette dernière équation, puisse s'obtenir algébriquement, pour que le problème dont il s'agit soit résoluble par la méthode ordinaire des mxixima et minimxi. Dans l'hypothèse contraire, et sauf quelques cas où les conditions
de maximum ou de minùnum se déduisent immédiatement de la forme de rintégraie, il faudra construire par points y au moyen de quadratures numériques, la courbe dont l'ordonnée est Foc, l'abscisse étant a : on déterminera ensuite graphiquement les maximu et miidma de cette ordonnée.
368. Admettons maintenant que a désigne, non plus un nombre constant dans toute l'étendue de l'intégration relative à .r, mais une quantité qui varie avec j;; et pour mieux indiquer cette circonstance, substituons à la lettre a la lettre^, par laquelle on a coutume de désigner une fonction de x. On peut demander quelle doit être la valeur de^ en fonction de x^ qui rend un maximum ou un minimum l'intégrale définie
b f{x,x)dx', (i)
et même il arrive que ce problème, très-distinct du précédent, se résout sans intégration préalable. £n effet , il est clair que si l'on détermine la valeur de^ en x par l'équation
chacun des éléments de l'intégrale obtiendra la plus grande ou la plus petite valeur dont il est susceptible ; en sorte que l'intégrale même, formée par la somme de ces éléments, obtiendra sa valeur mxiximum ou mim^ mum. Toutefois, ce raisonnement suppose i^ que l'on peut considérer l'intégrale comme une somme d'éléments, en sorte que la fonction /[x^) ne devient point infinie dans l'étendue de l'intégration ; 2^ que la valeur de^ en x tirée de Téquation (2) rendy(^^) constamment un maximum ou constamment un minimum dans
toute l'étendue de l'intégration. Le problème changerait de nature si ces conditions n'étaient pas satisfaites.
S a. Principes de la méthode connue sous le nom de Calcul
des variations.
369. Ceci nous mène à examiner un cas plus général et susceptible d'applications beaucoup plus importantes : celui où la fonction sous le signe y contient non-seulement^, mais ses dérivées ^,^", etc., et où il s'agit d'assigner la valeur de^ en jt, qui rend l'intégrale proposée un maximum ou un minimum. Il est clair qu'on ne peut assigner la fonction /=<p^ dans l'étendue de l'intégrale, sans déterminer par cela même les fonctions dérivées <p'x, ^"x, etc., ni faire varier cette fonction sans que toutes les dérivées éprouvent des variations correspondantes. La variation de l'intégrale est donc déterminée iniplicitement par la seule variation de la fonction ^ ; et toute la difficulté du problème consiste à mettre en évidence, à rendre explicites les liaisons de la variation de^ aux variations subordonnées de ses dérivées. Telle est la question dont Lagrange a donné la solution la plus élégante en employant un algorithme particulier, que l'on nomme le Calcul des variations^ et qui n'est au fond qu'une modification heureuse de l'algorithme différentiel , dans son application à la va-» riation des intégrales , où une fonction inconnue se trouve mêlée sous le signe /*avec ses dérivées.
370. On est sans cesse conduit , dans l'analyse , à considérer des fonctions sujettes à éprouver des variations distinctes et indépendantes lef unes des autres : toutes les fonctions de plusieurs variables indépendantes se trouvent dans ce cas ; mais rien n'est plus propre que la
considération des mouvements d'un système matérid à faire nettement concevoir la coexistence de plusieurs modes distincts de variabilité.
Imaginons un fil flexible, non tendu, fixé par les deux bouts, et qui se déplace en se déformant ; et admettons seulement, pour plus de simplicité, que la courbe tracée par le fil reste toujours comprise clans le même plan. Les coordonnées XjjrAe chaque point du fil , rapportées à des axes fixes dans le plan, la direction de la tangente en ce point, la grandeur et là direction du rayon de courbure, varieront par suite de la déformation du fil ; et il ne faudra pas confondre ces variations avec celles qu'engendre le passage d'un point du fil à un autre point matériel infiniment voisin.
En général, il est utile, pour prévenir toute ambiguïté , d'indiquer par des caractéristiques différentes les variations qui se rapportent à des modes de variabilité distincts. Ainsi l'on pourrait désigner par dgZ^ dji [il 8] les différentielles prises par rapport à ^ et par rapport à j d'une fonction z des deux variables indépendantes ^, ^; et si l'on est dans l'usage de supprimer les indices des différentielles dz , c'est à cause des dénominateurs dx^ dy qui les accompagnent presque constamment, et qui lèvent l'ambiguïté comme les indices pourraient le faire.
Dans la question présente, où il s'agit uniquement d'éliminer de l'expression de la variation d'une intégrale les variations subordonnées, telles que celles de
— ou de dy , pour ne conserver que les variations qui
restent indépendantes et arbitraires , comme celle de^, nous considérons cette variation de y d'une manière
PRliraPES DU CALCUL DES VARIATlOIfS. 119
absolument générale, et non par rapport à une variable déterminée, autre que Xj dont^ dépendrait. Dès lors ce n'est ni par des indices ni par des dénominateurs que l'on peut distinguer la différentielle djr^ provenant du changement d'abscisse, de l'autre variation de^, provenant du changement de forme attribué à la fonction /=:^; bien qu'on reste libre de concevoir que ce changement de forme est dû à la variation d'un paramètre ^elconque contenu dans la fonction f^. On est convenu en conséquence de désigner par la caractéristique ^ les variations infiniment petites dues au changement de forme de la fonction, et on les appelle spécialement 2;ariations'y en continuant d'appeler différentielles les variations exprimées par le signe d^ qui proviennent du changement d'abscisses ou du passage d'un élément du système matériel à l'élément contigu.
371. Supposons donc que, par suite de la variation dont 4 est la caractéristique, la courbe MN {fig^ 88), qui a pour ordonnée jr, se trouve transportée en M'N' : les points m\m\ de la seconde courbe correspondant aux points m^m^ de la première, et ceux-ci aux abscisses
x^ X'\-dx. On aura
mp=jry m^p^=X + djr, m' p' t=jr -^ ^y^ rri^p\ = mjf^ -h J . m^p^ = rdp + d.nip\
ou bien
r+* + *(r+rfr)=7-i-5/+<r4-$r),
et par conséquent
Uy^dly. (3)
Donc on aura aussi
^d^y=.dUy—d^ly, et en général
relation d'après laquelle on peut toujours transporter la
120 LIVEE V, CHAPITRE VII.
caractéristique è après la caractéristique d. On voit au reste que cette relation subsisterait, lors même que les caractéristiques d, 8 n'indiqueraient pas des variations infiniment petites; ou plutôt qu'elle ne subsiste à cette limite que parce qu'elle a lieu pour des variations finies quelconques. D'ailleurs la formule (3) que l'on peut remplacer par
8dzr=d8zy
équivaut, d'après les explications que l'on vient de donner,
à la formule
dgdyZs=idjdjtZ^
démontrée au n* 1 23.
Le raisonnement du n"" 366, qui établit la possibilité d'intervertir l'ordre des signes^ d, s'applique également à l'interversion des signes y^ 8 : on aura donc
C'est dans cette transposition des signes que consiste la première règle fondamentale de la méthode des variations.
372. Cela posé, s'il s'agit de trouver la variation d'une intégrale définie
^'^ydx, (V)
(dans laquelle Vest une fonction de x, /,^,/", etc., ou, ce qui revient au même, une fonction de x^^dj^d^j-^eXc.)^ et si le développement de la variation donne un terme de la forme
on changera d'abord cette expression en
PRUraPES DU GALGDL DES V4RIATI01fS. 121
On aura ensuite en intégrant par parties , et en désignant, pour simplifier, par
la valeur d'une fonction U à la limite supérieure de l'intégrale, nloins sa valeur à la limite inférieure,
On trouverait de même, en effectuant successivement deux intégrations par parties,
et ainsi de suite; de manière qu'il ne restera sous le
signe y que des termes multipliés par la variation ^jr:
les variations ^dy^ ^d^Jj etc., en ayant été chassées ainsi
qu'on l'avait en vue [369]. Ces réductions constituent
la seconde règle fondamentale du calcul des variations*
