On obtiendra de la manière la plus générale la

variation de l'intégrale définie (V), si l'on fait varier à la

fois, non-seu\ement la fonction jr et ses différentielles dj^

d^jr^ etc. , mais encore la variable x et sa différentielle

dx : ce qui revient à supposer que chaque point du fil

flexible pris pour exemple [370] se déplace ou peut se

déplacer d'une manière quelconque dans le sens des abs-

cisises x^ comme dans celui des ordonnées y. Ceci con-

venu^ soit

dS^lLdx + Yrfr + Y<' Wr' + Y<»W7'' + Y(3)rfy" -h etc., X,Y,Y<">,Y<*),Y^^>, etc., désignant des fonctions de x, /,y,y',^"', eh;., que l'on trouve par la différentiation dès que la fonction Y est donnée : on aura aussi

122 LIVRE V. CHiLPITRE VII.

îV=X*ar + Yî/ + YCOJj.' + Y(-)èf + Y(^)^" + etc., et d'après ce qui vient d'être expliqué,

Les valeurs de <i V et de 5V donnent

dtrjV— rfVîar= Y(dar;ïr— rf/J^) + Y^%d±^y —dfix) Y(»)[éirÎ7" — rfr "^or) + Y(3)(éteîy " — rfyîar) 4- etc.

On a d'autre part

Donc, si l'on pose, pour abréger, la substitution donnera

" [Y«irS«+Y(OrfJa+ Y('W. ^ + Y t'^^. ^ + etc.].

On intégrera par parties, suivant la règle du n" précé-' dent, autant de fois qu'il sera nécessaire pour faire disparaître sous le signe /'toutes les caractéristiques d qui affectent la variation 8u, Remettant ensuite pour 8u sa valeur, et faisant toujours suivre la caractéristique d de la caractéristique ^, on obtiendra la formule suivante

+(Y(*^-^^+etc.)(V-:r'«^)+etc.]J J(A)

Il faut remarquer que les dérivées ^. sont prises en

considérant les fonctions j^^'^", etc., qui peuvent entrer dans Y^"^, comme des fonctions implicites de a:; de sorte que ces dérivc^es ne seraient par nulles, même quand la variable a; n'entrerait pas explicitement dans Y^''^

Si maintenant on veut que l'intégrale (V) soit un maximum ou un minimum^ il faut que sa variation s'é- ?anouisse, quels que soient les incréments que nous désignons par 8a;^ ^, incréments arbitrairement variables avec X dans l'étendue de l'intégrale. Il faut par conséquent que chaque élément de l'intégrale qui reste au second membre de (A) s'évanouisse séparément, et qu'on

ait pour cela

^ rfY(0 rf*Y(*) rf^YC^)

Quand le premier membre de l'équation se réduira à

une constante, ou à une fonction de la seule variable x,

die ne pourra servir à déterminer une fonction jr:=Kfx,

qui satisfasse à la condition de maximum ou de minimum^

et le problème sera impossible. £n général, l'équation

pourra contenir Xjj',y,....j^^*\ si /^"^ est la plus haute

dérivée qui entre dans Y ; car alors le premier membre

rf"Y(") de l'équation (a) aura pour dernier terme ± . ; et

si Y^"^ contient ^"^, la formation de ce terme amènera la dérivée ^*"^, à cause que j^"\ ainsi qu'on vient de Texpli-» quer , doit être traité comme une fonction implicite de x.

374. Avant d'aller plus loin, nous ferons remarquer que, si ïon ne soumettait pas j; à la variation exprimée par &, ou si l'on posait ^.r=odans la formule (A), la condition pour que la quantité sous le signe /s'évanouît, clément par élément, conduirait à la même équation (a) : il n'y aurait de changé que la forme des termes qui se rapportent aux limites de l'intégration , et les équations qu'on en déduit en égalant ces termes à zéro, pour, que la variation totale de l'intégrale s'évanouisse. Ce résultat s'explique et se démontre directement par des considérations géométriques. Soit en effet MN {fig. 88) la courbe ^i=<pj;, et M'N' ce que devient cette courbe par la variation de / et de x. Ou peut indifféremment supposer qu'à un point quelconque m de la première courbe, compris entre les points extrêmes, correspond sur la courbe variée un point m^ dont l'abscisse et l'ordonnée diffèrent respectivement de l'abscisse et de l'ordonnée de 772, ou un point ^k qui a la même abscisse que nij l'ordonnée seule ayant varié. Mais, si les points extrêmes M,N n'ont pas les mêmes abscisses que les points extrêmes M',N', il faut bien admettre qu'aux limites les abscisses et les ordonnées ont varié à la fois. Il faut donc avoir égard à cette variabilité des abscisses, dans les équations aux limites, lorsque, par la nature de la question, les abscisses des points extrêmes ne sont pas invariables; et puisqu'il n'importe d'y avoir ou non égard entre les limites, l'équation qui définit le tracé de la courbe entre les limites doit rester la même.

Si l'on attribue une variation à l'abscisse Jc, la variation ^, au lieu d'être égale à (jl/? — mp^ comme lorsque l'abscisse est invariable, sera m'/?' — mp. On a

(jyi = m'p' — /w'v = m'p' — in ,

PRIirCIPES DU GÂ.LGUL DES VARIATIOJ^TS. 125

du moins en supposant m'i'=\Lm^ ce qui revient à négliger l'infiniment petit du second ordre dtij : donc

et par conséquent il faudra, pour avoir égard à la variation de Xy remplacer ^j par ^j-^y^x^ dans les formules construites pour l'hypothèse de l'invariabilité de x. Par la même raison il faudra remplacer ^j/ par ^y — y^Xj et ainsi de suite.

375. On obtient la relation cherchée ^= ?j;, qui satisfait à la condition du maximum ou du minimum^ en i/i^^/%z/2^ l'équation (a), c'est-à-dire [164] en remontant de cette équation entre x^ ^i J^v•••^**^ ^ l'équation en j::^, dont elle dérive, et qui est de la forme

^{x^jr^ a,, fl,,. . .a«) = o, (a)

^t9^a9»***^aii désignant in constantes ou paramètres arbitraires. Nous traiterons plus tard de l'intégration des équations différentielles : il suffit, quant à présent, d'indiquer comment les constantes arbitraires que l'intégration doit amener, se déterminent d'après les données de la question.

Lorsqu'on égale à zéro le second membre de l'équation (A), après avoir supprimé le terme affecté du signe /, qui disparaît en vertu de l'équation (a), il reste

[Vi;,+ (Y(0 ^ 4- ^ - etc.) {hy-yU)

+ (YW î^ + etc.) {ly -fhx) + etc.] \ =o. {h) On peut mettre cette équation sous la forme

- (S.Jar, + T.$r, + ï,w jy^ -J-...+ r„(-.)î^.(-.))=o, (p)

etrdésignant par

126 LIYBB V. GttAPlTR£ VII.

des fonclioDS connues des valeurs initiales jrovT^ev^^? etc.,

et par

H., Y., Yx('),.-.Y,(-^), (0

des fonctions composées respectivement de la même manière avec les valeurs finales x^^y^^y'^^ etc. Cela pose, si les valeurs des quantités extrêmes

sont des constantes fournies immédiatement par les données de la question, leurs variations

5^0,*^.; ^r.,h.\ â)^'o, 3>^i; etc. (e)

sont nulles : Téquation (p) se trouve satisfaite d'ellemême ; et l'on a , pour déterminer les constantes arbitraires qui entrent dans l'intégrale (a), des équations en même nombre que ces constantes, et de la forme

^'(^•> 7. »/.,«. > a^y. . .fl,„)=0,

^'(^1) 7, ?/.>«!» «a,. ••«.»)=<>; etc. : ia fonction ^' étant donnée par la différentiation immédiate de la fonction <^, et ainsi de suite.

Si l'oii ne donne aucune des valeurs des quantités (d), leurs variations sont indéterminées et indépendantes. On ne peut donc satisfaire à l'équation (p) qu'en égalant séparément à zéro chacun des facteurs (Co),(Cx); et les équations ainsi obtenues tiennent lieu de celles qui donneraient directement les valeurs des quantités (d); en sorte qu'on a toujours des conditions en nombre suffisant pour déterminer les constantes arbitraires qui entrent dans l'intégrale (a).

Enfin, si l'on a, entre les quantités (fiQ, un certain nombre d'équations de condition /,'= 0,^1=0, etc., on

PRINCIPES DV CALCUL DBS YARIATIONâ. 127

en déduira [i54] des relations entre les variations (e)j exprimées par

â/; = o, ^/.=o, etc. (/)

On éliminera de l'équation (p), au moyen des équations (/), autant de variations qu'il y a d'unités dans le nombre des équations (/*); puis on égaiera séparément à zéro les multiplicateurs des variations non éliminées et demeurées arbitraires, ce qui fera rentrer ce cas dans ceux qu'on a considérés d'abord.

376. Il convient de remarquer aussi que la fonction y pourrait contenir une ou plusieurs des valeurs extrêmes (<i) qui figurent essentiellement dans l'équation (P). On doit alors, en prenant la variation ^Y, faire varier les quantités dont il s'agit, à moins que leurs valeurs ne soient constantes par les données de la question. Si ,

par exemple, V renfermait Xo^ et qu'on eut-— = Ô, la

variation de Y, par rapport à cette quantité, serait ^^x^; et, en désignant par 9 la fonction J^dx^ on aurait dans l'équation (A), et par suite dans l'équation (p), un nouveau terme

mais l'équation (a) n'en serait pas changée.

377. Admettons maintenant que la fonction Y contienne deux fonctions /,z de la variable Xy et leurs dérivées^', z'^y^ z"\ etc., comme cela se présente dans les problèmes relatif aux lignes à double courbure : on posera

dV=lidx + Yrfr + YCOrfj' + YC^Wj" + Y('W' + etc. + Zdz+ Z(')«/z' + ZC'Wz" + Zmz'" -f. etc.^

et sans qu'il soit besoin de répéter les calculs qui ont donné la formule (A), nous pourrons écrire

12& LITRE V. GHAJPITAE TH.

Ydx^[\8xy,

+ [(Y(')-^Vetc.)(3y-yj:r)+(Y(')-^+etc.)($r'-:r'*^)+et«-l

+ [(Z(0^Vetc.)(*2-z'&^)+(ZC')-^ +etc.)(*8'-z'«x)+etcl r^.p^ rfYW <;•¥(>) «i^ZW ^ . ^^

+A tZ— ^ + ^.— ^r-+etc.](Jz-»'*x)*^.

Cette formule conduit d'abord aux deux équations

qui sont en général des équations différentielles simultanées [lôS], dont l'intégration se ramène, comme on l'a vu, à celle d'une équation ordinaire à deux variables. Supposons que cette intégration soit effectuée, et qu'on ait trouvé les valeurs àej-jZ en x, qui satisfont.de la manière la plus générale, par la présence d'un nombre convenable de constantes arbitraires, aux équations précédentes : il restera à fixer les valeurs de ces constantes arbitraires, au moyen des conditions relatives aux limites de l'intégrale. Il n'est pas nécessaire d'insister davantage ici sur cette extension des calculs indiqués plus haut [SyS].