Les variables x^^z peuvent être liées par une équation

F(ar,7, z) = o, (gr)

comme dans les problèmes où il s'agit de lignes assujetties à se trouver sur une surface donnée : il en résulte

dF^ dF ^ (IF ^

€Lx ay az

Au moyen de cette équation, on chassera 8z de la formule (B); et en prenant la partie sous le signe /^ si Ton égale à zéro, après la substitution, le coefficient de ^ ou celui de 8x indifféremment, on aura l'équation différentielle

doù Ton pourra chasser z au moyen de Téquation (g).

379. SI le nombre des variables et des équations de condition était plus considérable, on rendrait le calcul d'élimination plus élégant en employant la méthode des multiplicateurs []54]; mais l'emploi de cette méthode mérite surtout d'être remarqué, lorsque les équations de condition renferment non-seulement les variables .r,j^,z,... mais encore leurs dérivées ^',jr'V- 2',s",.»- ®tc.: il s'agit alors de ramener les variations des fonctions dérivées à ne dépendre que des variations des fonctions primitives.

Soit donc

F(^xr>/j7"> • • • ^j^\^'\ . . . ) = o > W

une telle équation : on aura 5F=o, et aussi X^Fi=:o, \ désignant un multiplicateur indéterminé; et puisque cette équation doit subsister pour toutes les valeurs de ir^,2,.... comprises entre les limites de l'intégration, on aura encore

X<JF<ir=o; (i)

mais alors X désigne un facteur susceptible de varier d'une abscisse à l'autre, ou une fonction inconnue de .r. L'équation [î) est la somme d'une infinité d'équations

'k8FcLjc=0f pour chacune desquelles les variables x,/,z,... et le coefficient X auraient en général des valeurs différentes.

Ainsi les valeurs àej-^z^ en fonction de x qui rendront nulle

annuleront aussi

Suivant les règles de l'élimination par la méthode des multiplicateurs , on doit , après l'introduction de l'indéterminée X, traiter ^,;5 comme des fonctions de x^ indépendantes l'une de l'autre; à,e sorte que« si l'on pose

dF = xdx + Y^/+ y('W/ + yC^W/" h- etc. + xdz+ z(')dz' + z(*)rfz'' + etc.,

et qu'on égale séparément à zéro les facteurs de fyjlz sous le signe y^ après qu'on aura appliqué à l'intégrale (k) la méthode ordinaire des variations, il viendra

Y — 7 1 — nr-r -etc+XY -j h - , ,— -etc.:

eue dx^ dx dx^ . -

Z — -j h -r-^ — etc.-|->z -j h —7^ etc.

dx dx^ dx dx

Les trois équations (Ji) et (/), étant intégrées simultanément, donneront les valeurs de \f^z en fonction de x et des constantes arbitraires ; et par l'élimination de \ on pourra obtenir séparément les valeurs de^,z en fonction de X et des constantes venues à la suite de l'intégration. Les équations aux limites, étant traitées d'une manière analogue, détermineront les valeurs initiales el finales des fonctions X,jr,z, et de leurs dérivées, et pai suite les constantes arbitraires amenées par l'intégration.

C'est principalement dans les applications du calcul de la variation des intégrales aux problèmes de mécanique où Ton considère les corps comme des masses continues, que cette théorie des multiplicateurs variables reçoit des applications importantes pour lesquelles on doit surtout consulter la Mécanique analjrtique de Lagrangc. Dans les problèmes de cette nature, la fonction X n'est plus seulement une variable auxiliaire introduite pour la commodité du calcul : elle désigne une grandeur concrète, dont il est indispensable d'assigner la valeur pour la complète solution du problème.

380. Ceci nous mène à exposer la théorie des maxima et minima relatifs. On dit qu'on cherche un niaximum ou un minimum relatif, lorsqu'il s'agit de déterminer la

fonction ^==<p or qui rend l'intégrale / ' \dx un maxi-

mum ou un minimum^ avec la condition qu'une autre

intégrale / ' L^, dépendant de la même fonction^,

conserve une valeur constante. Telle est en général la question qu'on se propose dans les problèmes des isopélimètres, qui consistent à déterminer, parmi les courbes de même longueur, ou parmi celles pour lesquelles l'intégrale

V/i-(-y* .cLx:

conserve une valeur constante, celle dont l'ordonnée j^ satisfait à la condition de rendre l'intégrale / ' Ydx

'intégrale /

un mcujçimum ou un minimum,

£n pareil cas les variations des coordonnées.^,^, sont liées par l'équation de condition

f32 LIVRE V. CHAPITRE VII.

et si Ton applique le procédé de l'éliminatioii par les multiplicateurs indéterminés, on en conclura

8f'''ydx+'k8f'''Ldx=:ù

(X désignant un coefficient constant), ou

sf''\y+'kL)da:=o. (m)

Le coefficient "k est constant, parce qu'on n'a ici qu'une équation de condition qui porte sur la valeur d'une intégrale, et non plus 9 comme dans le n° précédent, une infinité d'équations de condition, dont chacune subsiste pour les coordonnées relatives à un élément de l'intégrale. D'ailleurs, il est évident que si / ' ydx a, une

valeur maximum ou minimum^ l'intégrale / ' Ldx

étant assujettie à rester constante, la somme

où X désigne un qombre constant, aura aussi une valeur maximum ou minimum.ljdi fonction ^z=z:<p.r, que l'on déterminera en appliquant à la formule (jn) les règles ordinaires du calcul des variations, contient la constante indéterminée \ dont on fixe la valeur par la condition

que l'intégrale / L^tr, dans laquelle entre ^ et par

suite X, ait une valeur constante et donnée.

On peut encore arriver au même résultat de la manière suivante. Posons

^ , - dz

J\uax = z^ ou L — — =0: (^ny

z sera une fonction de x que Ton pourra considérer

comme liée à ^ et à j; au moyen de l'équatiou (n). Ce

ï* *: sera donc le cas d'appliquer la méthode du n® 379, en

traitant (n) comme une équation de condition, ce qui

donne

Le terme

J X. dx J X.

donne dans l'intégration par parties

^*^^" -Jl'.^'^^

La variable z n'entre d'ailleurs ni dans V ni dans L, en sorte que le terme dépendant de la variation indépendante ^z ne saurait disparaître si l'on ne pose séparément

dx On a aussi

puisque \ est constant, et que, par hypothèse, la quantité

est pareillement constante; de sorte qu'il n'y a plus qu'à faire évanouir la variation de l'intégrale

(V+îX)d:r,

où \ désigne un coefficient constant.

Cette analyse s'étend d'elle-même au cas oîi l'on aurait un plus grand nombre d'intégrales assujetties à con* server des valeurs constantes.

134 LIVRB V. CHAPITRE VII.

381. Nous n'avons traité jusqu'à présent que des conditions communes au maximum et au mirumum»ll faudrait en outre donner les moyens de distinguer généralement le maximum du minimum^ et &ire connaître les ca§ d'exception où la variation de l'intégrale peut s'évanouir^ sans que ce résultat entraine l'existence d'un maximum ou d'un mimmum.

En remontant aux principes généraux de là matière [9 1 etsuiif.\ on comprendra tout de suite que cette analyse doit se rattacher à la recherche des variations du second ordre d'une intégrale, ou des variations de ses variations. Mais dans les applications ordinaires, on peut se dispenser de recourir à cette analyse compliquée, attendu que la nature de la question indique presque toujours l'impossibilité, soit du maximum, soit du minimum; de sorte qu'il ne peut rester d'ambiguïté sur le sens du résultat obtenu, par la simple considération des variations du premier ordre.

On doit aussi remarquer que nous ne nous occupons pas de rechercher le maximum ni le minimum d'une intégrale définie, toutes les fois que la fonction sous le signey*passe par l'infini entre les limites de l'intégration, de manière que les intégrales ne puissent plus être considérées comme des sommes d'éléments différentiels infiniment petits.

Nous allons passer, dans le chapitre suivant, à quelques exemples qui achèveront de lever les difficultés qui pourraient rester sur cette théorie, prisé dans sa généralité abstraite.

APPLICATIOirS DU CALCUL DES VARIATIONS DES INTÉGUA-