ETENDUE AUX INTÉGRALES DOI/BLES

S 1*'. Applications da calcal des variations des intégrales simples à des problèmes de maxima et de minima,

382. Dé la Ugne la plus courte sur une surface donnée. Puisque la droite la plus courte ou la plus longue qu'on puisse mener d'un point à une ligne ou à une surface , est la normale abaissée du point sur la ligne ou sur la surface , il est aisé de voir que la ligne la plus longue ou la plus courte qui puisse être menée entre deux lignes ou entre deux surfaces, est la normale commune aux deux lignes ou aux deux surfaces. Nouft nous contenterons d'indiquer l'application des formules générales du chapitre précédent à un cas si simple; et nous passerons au problème qui a pour objet de déterminer la ligne la plus courte que l'on puisse tracer sur une sur&ce donnée , entre deux points fixes , ou entre deux courbes fixes tracées également sur la surface. Il est évident que le problème n'admettrait pas de solution , si l'on substituait la condition du maximum à celle du minimum , à moins qu'on n'y apportât des limitations, en assujettissant, par exemple, la courbe cherchée à être plane.

L'intégrale qu'il s'agit de rendre un mùiimum est d'où l'on tire, en posant j/7"+7m-^== V»

dx

Soit F (x,^, s )=:o l'équation de la surface sur laquelle la ligne cherchée doit se trouver : il viendra

rfF . rfF . £/F .

d'où Ton conclut , en chassant ^x sous le signe y^ et en égalant à zéro les multiplicateurs de ^y^^z^

/«/F ^F\ ^., ,^^ ^.^ Vfltr ^ dy) dx dy'dx '

V^/j ^2/ ^^ dz dx ' j

Mais, puisque la courbe cherchée doit se trouver sur la surface , les dérivées^', z' sont liées par l'équation

dF ,dF ,dF

dx -^ dy dz

en conséquence les deux équations (i) deviennent identiques^ comme cela doit être, et elles prennent la forme

^.':îâ)=^.<|). M

dz dx dy dx ' ^ ^

11 faudrait substituer dans cette dernière équation les valeurs de z, z en fonction de x^ y^y tirées de l'équation de la surface , et intégrer : mais en conservant à la

fonction F sa généralité, nous allons tirer de l'équation (2) la démonstration d'une propriété caractéristique des courbes qui satisfont aux conditions du problème. On a, en désignant comme à l'ordinaire par s l'arc

^ delà courbe,

y df z' dz

au moyen de quoi l'équation (a) revient à la proportion

rfF d¥

dy ' dz ' ' ds ' ds ' d'oïl Ton conclut , à cause de la symétrie ,

^ ^ ^ dC^^ d(^A d(^

dF df d¥ \ds) \ds) \.dsj

dx* dy ^ dz* ' ds " ds * ds

Mais si l'on désigne par \ (a, v ; V, \l^ v' les angles que la normale è la surface et le rayon de courbure de la ligne cherchée font avec des parallèles aux axes des x^ y^ z dans le sens des coordonnées positives, la proportion (3) revient [aaS et aSy] à

cosX : cosjA : cos v :: cosX' : cos (a' : cosv'. Donc X=V, (a=:(jl', v=v'. Ainsi la ligne tracée sur la surface^ de manière qu'entre deux points quelconques elle soit plus courte que toute autre ligne assujettie à rester sur la surface et à passer par ces deux points , a son plan osculateur constamment normal à la surface. 383. L'équation aux limites

se- trouve sa tisfsAt^ d'elle-même, sr les 'deux points extrêmes de la courbe cherchée sont fixes et donnés de position, car alors on a

^Xo = o, fy^zzzoy 8z^=o; Ja:,=o, ^7,1=0, &.=0. Supposons qu'il n'en soit pas ainsi, mais que chacun des deux points extrêmes soit assujetti à se trouver sur une courbe donnée, tracée sur la surface. On aura, en chacun des deux points extrêmes, en supprimant, pour plus de simplicité, les indices o, i qui les particularisent «

^x+yjj+z'^j&zno, ou bien

Or, le point extrême (x^jy, z) étant assujetti à se trouver sur une ligne donnée, ^,-j—, sont des quantités déterminées par le tracé de cette ligne, et qui mesurent les tangentes trigonométriques des angles que font avec l'axe des X les projections sur les plans des xjr et des xz de la tangente à cette ligne au point {x^jTy z). D'un autre côté,^, z' sont les tangentes trigonométriques deà angles que font avec le même axe les projections sur les mêmes plans de la tangente à la ligne la plus courte, menée par le point extrême. Donc l'équation (4) exprime que la ligne la plus courte coupe à angles droits les deux lignes tracées sur la surface, et sur lesquelles les points extrêmes sont respectivement assujettis à se trouver.

384. De la surface de révolution à aire minimunu On demande de déterminer dans le plan xy la courbe passant par deux points donnés [x^^y^^ [x^^y^^ qui, par sa révolution autour de l'axe des x^ engendre la surface de révolution dont l'aire (comprise entre deux plans perpendiculaires à l'axe des x^ et passant chacun par l'un des points donnés) est un minimum. L'intégrale

dont I9 variation doit s'évanouir , est [35o]

f"' yVTTy^.dx; (5)

et réquation {a) du n^ 378 devient dans ce cas particulier

VT^ ■^—=-'>, ou , ^— =»•

Si Ton prend j* pour variable indépendante, cette équation revêt la forme

-(l)"-rg=(î)"-rg=». «»)

Mais on a , dans la même hypothèse ,

dx d*x dy d*y

ds ds* ds ds* ce qui permet de changer Téquation (6) en

dx dy d^x v ds)

On en conclut

b désignant une constante arbitraire ; et par suite , en élevant au carré, et en remettant pour ds^ sa valeur,

£ofin une nouvelle intégration donne

Puisque les coordonnées des deux points extrêmes sont des constantes données , l'équation aux limites se trouve satisfaite d'elle-même.

D'après l'équation (8), la constante b i*eprésente la valeur de l'ordonnée^ pour le point de la courbe où la

tangente est parallèle à l'axe des x : on en déterminerait la valeur en calculant ^ par des approximations succei» sives , la racine de l'équation transcendante

Afin de mettre sous sa forme la plus simple Veq^ tion de la courbe qui satisfait au problème , faisons passer Taxe des^ par le point de la courbe où la tangente est parallèle à l'axe des x, ce qui revient à intégrer l'équation (9) en supposant qu'on ait à la fois x = o, j=.b : il viendra

d'où

et par suite

On tire ensuite de l'équation (8), en prenant pour origine des arcs le point dont l'abscisse est nulle y

La courbe dont on vient de trouver l'équation est connue sous le nom de chatnette; parce que, comme on le prouve en mécanique , cette courbe est celle qu'affecterait un fil pesant, homogène, parfaitement flexible , et suspendu par deux points. Galilée , qui s'en est occupé, l'avait confondue avec la parabole; mais Leibnitz en a ramené la construction à celle de deux logarithmiques , construction qui ressort de l'équation (lo).

La chaînette jouit , comme la cycloïde, de propriétés curieuses, en outre de celles dont il vient d'être ques-

ion. Soit MBM' [^fig* 89) cette courbe , symétrique par upport à l'axe OY, XX' Taxe autour duquel la courbe loit tourner pour engendrer la surface de révolution lont l'aire est un minimum : l'ordonnée minimum OB représentera le paramètre b. En vertu des équations (8) et (10), on a

de sorte qu'en tous les points de la chaînette , ta normale [i7*-i] et le rayon de courbure [iqS] ont pour va-

leur commune^. Au sommet B le rayon de courbure

passe par un minimum ^ et a pour valeur le paramètre b. Si, du point P, pied de l'ordonnée PM=:j^*, on abaisse sur la tangente MT la perpendiculaire V\l^ on aura Pjjl : MP :: PT : MT. Mais

donc la perpendiculaire P[jl a une valeur constante et égale au paramètre b. De là M(jL=i:^/y> — 6>. L'aire OBMP a pour valeur

et l'on a , par l'équation (8) ,

I rx

arc BM rz=^s=^-jj ydx=^ Kr*— *' •*

la chaînette est donc une courbe pour laquelle l'aire et l'arc sont des fonctions algébriques de l'ordonnée.

L'arc BM vient d'être trouvé égal à la droite Mjx : donc le point [/. appartient à une développante de la chaînette , ayant son point de rebroussement en B , sommet de la développée. Cette développante NBN' est sy-

métrique par rapport à l'axe des^ et a pour asymptote l'axe des x. La portion de droite (i.P=é est la tangente de la courbe NBN', à laquelle, en conséquence j on peut assigner pour propriété caractéristique d'avoir une tangente de grandeur constante. Ces remarques intéressantes ont été faites par Ampère.

385. Courbe de la plus vite descente , ou BrachisUh chrone (^). On appelle ainsi la courbe sur laquelle devrait glisser un point matériel pesant , pour arriver le plus vite possible d'un point à un autre, v:&ùt situé sur la même verticale, abstraction faite du frottement sur la courbe et de la résistance du milieu ambiant. Tout étant symétrique de part et d'autre du plan vertical mené par les points extrêmes, la courbe reste nécessairement comprise dans ce plan vertical que nous prendrons pour celui des xy^Xesx positifs se mesurant suivant la verticale et de haut en bas. Soient x^j x^ les abscisses des points de départ et d'arrivée du mobile : d'après les principes de la mécanique , il faut rendre un minimum l'intégrale -

J OCo x — x

ce qui donne

£ dx 1/ ^'

dy X — X

(*) Et non pas Brachystochrone^ suivant l'orthographe barbare que l'on trouve employée partout. Ce mol dërive immédiatement, non de Tadjectlf ^p^X^ç > <iui a le même sens et la même racine que le latin breçiSf mais de son superlatif Ppa^K^Toç, d'où l'u a disparu.

APPLIGATIOirS DU CALCUL DES VARIATIONS. 143

Posons ^ =2R et x^=o^ ce qui revient à faire passer

Vaxe des a: par le point de départ , il viendra

(Lv . /2R — j:

équation d'une cycloïde [177] dont l'un des arceaux a pour pied le point de départ. Le rayon R du cercle générateur se déterminera 9 au moyen de ce que la cycloïde est assujettie à passer par le point d'arrivée du mobile. 386. Problèmes sur les isopérimèires. On demande

la courbe dont l'aire / ^ jrdx^ limitée par les ordonnées

\ des points {x^^jr^)^ {x^ ,^,),est un maximum ou un minimum ^ l'arc entre ces mêmes points ayant une longueur doooée. D'après le n^ 38o, il faut poser

\ désignant un coefficient constant : ce qui donne

' ^' dx —'''

d'où, en intégrant, et en désignant par ^ la valeur de x pour/=o,

X — c=ifc — =^==a. r^==-^ = ± — ^ —

^ Vi+y^^ -^ dx v/^x' — Car— 5)»'

Intégrons de nouveau , et désignons par 7; la valeur de / pour ar=Ç : il viendra

7— T^=iFV^x«— (x—Ç)», ou {x—iy+(j—t\y=>\\ Ainsi la courbe cherchée est un cercle dont \ désigne le rayon , et qui a pour centre le point ( Ç, ^ ). La détermination des trois constantes ^, y), \ résulte de ce que le cercle doit passer par les points (.r^,^o )> (-^i^^i)? l'arc compris entre ces points ayant une longueur don-

née. La solution est double : l'arc de cercle qui tourne sa concavité vers l'axe des x correspondant au maximum ^ et celui qui tourne sa convexité vers le même axé correspondant au minimum. On en conclut que le cercle est la courbe fermée qui , sous le même périmètre, circonscrit Faire maximum^ comme les anciens l'avaient démontré par la géométrie pure.

Si l'on ajoute au problème du n*" 384 '^ condition que la courbe soit prise parmi celles qui ont entre les points (^o9^o)? (•^oT'i)» "IÏ6 longueur constante et donnée, la variable^ se trouvera remplacée dans l'équation (8) par^-|-X : d'ailleurs les calculs seront les mêmes et conduiront pareillement à l'équation de la chaînette. Une nouvelle constante arbitraire sera introduite dans cette équation ; mais on aura aussi une nouvelle équation de condition : savoir, celle qui résulte de ce que la longueur de la courbe entre les points extrêmes est une constante donnée.

* 387. Pour dernière question , proposons-nous de trouver, parmi les courbes planes isopérimètres, terminées à deux points fixes (x^,^-^), (x,,^,), celle qui, en tournant autour de Taxe des x , détermine le solide de

révolution dont le volume lui 'y dx est un maximum

ou un minimum.

\jà condition analytique du problème est

en écrivant, pour l'homogénéité, V au lieu de >; et elle donne

3u bien , en prenant s pour variable Indépendante ,

Substituons pour —^ sa valeur tirée de l'équation (7) , et il viendra

d'oïl en intégrant , et en désignant par fj la valeur de Fordonnéc^' pour le point de la courbe où la tangente est perpendiculaire à l'axe des x.

Cette dernière équation donne

et par suite \ (12)

as ^^ zc ,

Une nouvelle întrégration donnerait la ^le^r de ^ en j^* avec une constante arbitraire; et l'on détennineraît cette constante, ainsi que les deux autres paramètres ^^ >.^ en assujettissant la courbe à passer par les points (x^.j-^), (x,,;-, ), et à avoir entre ces points une longueur donnée. Posons é=o, ce qui revient à faire passer Taxe des X par le point où la tangente est perpendiculaire à cet axe; prenons aussi ce point pour l'origine des coordonnées x,^, et de l'arc s auquel nous donnerons le même signe qu'à x : il viendra

Soit /=X cos<p, ? désignant une nouvelle variable: T. IL 10

on aura

>sinfcos''(pfi{9 'kcos*(fd<f X cos'çrfp

xrf?/^ ^ I \

iis=: —

et par suite

D'après la uature périodique des fonctions F, £, il est aisé de voir que la courbe représentée par l'équation (i3) a un cours périodique , comme l'indique la ^g. 90. L'ordonnée maximum PM ayant pour valeur \ celles de l'abscisse correspondante OP=zz|OA et de l'arc OM sont

Les inflexions de la courbe aux points O, A, etc., n'interrompent pas la continuité de la fonction s y comme cela a lieu pour d'autres courbes , et notamment pour la lemniscate [386], dont l'arc s'exprime aussi par la fonction elliptique Yi-pz.^ ? j.

La considération dont nous avons fait usage pour simplifier l'expression des intégrales des équations différentielles (12), ne pourrait plus être employée : i® si la constante b devait avoir une valeur imaginaire de la