APPLICATIONS DU CAIXÎUL DES VARIATIONS

forme & y/" — i , ce qui n'empêcherait pas les intégrales dont il s'agit d'être encore exprimables j quoique d'une manière moins simple, par les fonctions elliptiques; a"* si l'on avait entre les constantes A, >. la relation fc=:>.; mais dans ce dernier cas il viendrait

d'oîi

^ 1 /»/xi/;-f-r — \/x\/i—/

a?=CO/lrf.± l/aX»— j*±-^log(

On pourra effacer la constante arbitraire, si l'on fait passer Taxe des y par le point dont l'ordonnée est jzzzXl/â. D'ailleurs la courbe que cette équation représente , et qui est comprise entre les droites^= dzXJ/â, au lieu de couper en une infinité de points l'axe des x^ comme cela arrive à la courbe ( 1 3 ) , a cet axe pour

asymptote; puisque, si l'on fait j- im o, il vient -^=0,

et x=±co .

La courbe dont la première équation (12) est l'équation différentielle, est connue sous le nom de courbe élastique j parce que c'est celle qu'affecterait une lame élastique, naturellement plane, fixée à l'une de ses extrémités, et courbée par l'acti®» d'une force appliquée convenablement à l'autre extrémité. On l'a nommée aussi conrhelintéaîre, parce qu'elle représente la section droite d'une enveloppe cylindrique parfaitement flexible , suspendue par deux de ses génératrices, et remplie d'un liquide pesant dont la pression détermine la courbure de Tenveloppe.

A proprement parler, la courbe lintéaire est déterminée par la condition que l'intégrale

fO.

148 LIVRE V. CHAPITRE VIIÏ.

soit un maximum y les intégrales

ayant des valeurs constantes , c'est-à-dire par l'équation

d'où l'on tire

dx

Puisqu'il suffit de diminuer les /de la quantité constante

-, pour ramener cette équation à l'équation (ii), il

est clair que l'équation de la courbe lintéairc doit s€ confondre avec celle de la courbe élastique, tant qu'on ne particularise pas les constantes.

*§ 2. De la méthode des variations, étendue aux intégrales doubles