Soit demandée la valeur de l'intégrale

-«'fe'^'

^désignant une fonction algébrique rationnelle, et Fx une autre fonction algébrique rationnelle, dont le degré surpasse au moins de deux unités celui àe/x^ et telle que l'équation Fj7:=:o n'ait que des racines imaginaires, afin que la fonction sous le signe ne passe point par l'infini, dans l'étendue de l'intégration. Si l'on désigne par a±pi/IZ7 un couple de racines imaginaires conjuguées de l'équation F^=o, l'intégrale demandée sera la somme d'intégrales partielles de la forme

les constantes P et Q étant données par l'équation

F '^»^-'— F'(a + pu/^)' W

dans laquelle on transforme très-simplement l'équation (3) du n" 396.

On a sans difficulté

2QS/ , r- -=aTCQj

quant à l'intégrale

(x — a)da: /"" tdt

r* (x—(t)da: /•*

176 LITBE y. GHA.PITH1S X.

elle ne peut être considérée [3^4] que comuie la limite d'une autre intégrale

^ tdt

dans laquelle (jl ^ v désignent des nombres arbitraires et 8 un facteur qui converge indéfiniment vers zéro. Or on a

d'où, en faisant 6=o, pour passer à la limite,

expression indéterminée, à ceux de l'indétermination des nombres (x, v.

Désignons maintenant par a,± p,j/Iir, a,dt p,j/Z!I, etc. , les autres racines imaginaires de l'équation F.2r=^, , et par P„ Q,, P„ Q„ etc. , les valeurs correspondantes de P , Q : il viendra

n^Y^'^=^''^'J^\^^^ + Qa +etc.) \

+ i(P+P. +P, + etc.)log (^^

D'un autre côté Ton a identiquement > 2P(^— a)+2Qp 2P,(a;-a,)+2Qp, j

d'où il est facile de conclure que , si l'équation de coa

dition

P + P,H-P, H-etc. = o

n'était pas satisfaite, le plus haut exposant de x dansfx ne serait inférieur que d'une unité, contre l'hypothèse, au plus haut exposant de x dans Fx. Donc on a siin-

INTÉ&RALËS DEFINIES SPEGIALKS. 177

plement, dans l'hypothèse admise,

r^^£iF==27r(QH-Q,-hQ,+etc.),

valeur d'où a disparu tout symbole d'indétermination.

Si les fonctions fx^ F^ ne renferment que des puissances paires de x, on aura aussi