Âpphquons cette analyse à Tintégrale

dans laquelle nous supposerons m<n^m ein désignant d'ailleurs des nombres entiers positifs. L'équation (5) devient dans ce cas

et il faudra [79] y substituer successivement pour a-|-P|/ — 1 les diverses valeurs que l'on tire de la formule

(a« + i)TC . — . (2t+l)lC cos^ — ^ + V/— i.sm^— ' ^,

en donnant successivement à / les valeurs o, i , a , 3, . . .

Or, on a par la formule de Moivre [77],

[(a« + i)7r . . (ai-h i)7cl cos^ ^ + l/— I . sm^^ ^ a/t a/1 J

(am+i)(a/+i)w . . — . (a/nH-i)(ai+ i)7r

= — cos^^ ^-^ — + U^— i.sin^ ^-^ ^•

an an

Posons^ pour abréger,

T. n. lî^

an — am— I

178 LIVRE V. — GUAPITBE X#

l'ëquation (6) donnera a/i(P,-.Q/i/=:ï>

— cos(2e+i)Aw + ï/'— I .sin (a«+i)A7r' et par suite

Qi = — sin fa*+ 1)^^, -=: — [sinA-7r+.sin3^7c-|-...+sin(2/i-i)^]. (8)

Celte expression peut être simplifiée : car soit S=sinM-4-sin(a-|-(')+sin(« + 2^)+...+ sin[M+(/i— i)^]j

multiplions les deux membres de l'ëquation par a cost^, et^ la multiplication effectuée, transformons chaque terme du second membre au moyen de la formule

2 sin(tt + ru) cos u = sin [u + {r + 1)^] + sin [u + Çr— i)v]^

qui 'dérive elle-même de la relation connue

2 8in/>cos5r = sin(/î + y)4-8in(/? — y) :

nous trouverons

aScos ('=sin(M— t*)— sin M-f -28— sin [m+(/î— i)^]-hsin(«-|-/i('),

d'où

— sin (a — j') H- sin w + sin [a H- (/i — i )v] — sin (u -h nv)

2(1 — cos u)

Faisons dans cette dernière équation u = kTZy çz=z*ik%'.

S désignera le polynôme qui multiplie — dans l'équa-

tion (8), et il viendra

^ 2 sin Xrnr + sin (2/1 — i)^tc — sin (2/1+1)^

2(1 — coshIck) Mais on a

sin (a/î ± i)kK = sin [inJcK ± Jn:) = sin [(2/w 4- i)7C ±^]

= ip sin In:, I — cos a^Tu = 2 sin" kiz :

ÏNTliGRXLES DEFINIES SPÉCIALES. 179

donc

* x^'^dx "K

2n Cette formule remarquable a été donnée par Euler. On en tire

o I +/ sin^TT sn posant ^=x*". Cette dernière équation subsiste pour des valeurs quelconques de k comprises entre o et i : car , quelles que soient ces valeurs , on pourra trouver des nombres entiers /72, /iqui satisfassent à l'équation (7)^ avec telle approximation qu'on voudra, et qui de plus vérifient Tinégalité m<n.

On trouverait par un calcul analogue

l ^^^1 — *^° 2^+sin 4^4- ...+ sina {n — i)!^^]

in tang ^ ^

un o r — y tangATT