OO

n == / / 2<?-/*(' +'*) COS by: .ydydap devient, quand on effectue d'abord l'intégration relative

^ r^ cos bx . dx

Jo l+X*

Si l'on intégrait d'abord par rapport à :r , on aurait , par la formule (/c) ,

Maintenant posons

t = ^ , dou ( -^ ) =r-\-^b,

dx== -dt(i+ . ) :

les limites de la nouvelle variable t^ correspondant à

yznzco ,^=0, seront ^=-|-oo ,^= — 00 , et il viendra

ié/^

Or, rinlégrale qui subsiste dans le dernier membre de l'équation précédente est nulle pour b>o\ car, d'une part , le facteur qui nuiltiplie C^^dt sous le signe /

INTEGRALES Dl^FIIflES SPJÊGIALES. 185

est numériquement < i , en sorte que ia portion de l'intégrale comprise entre les limites o, X) , a une valeur numérique, finie, <i\yn; et cela posé, puisque tous les éléments de l'intégrale changent de signe avec ^ , on a

Donc 9. pour A>o,

^ /* * cos dxdx 7c . , ,v

On doit remarquer cet artifice d'analyse qui consiste à évaluer une intégrale simple par la comparaison des deux résultats qu'on obtient en intervertissant dans une intégrale douHe l'ordre des intégrations.

Si l'on remplace dans l'équation (/) .r par mx et h par

-, on aura

* cosbxdx ir i , .

et en faisant maintenant 772=0, on en conclura comme précédemment,, pourvu que b ne soit pas nul,

cos bxdx •=. o.

Si l'on remplace dans l'équation (/) x par — et é par //lA,

il viendra

* cos iorei^ ir

d'où, en difFérentiant par rapport à h^

^xÀVibxdx ir

jw* +a:* 2

Dans le cas où le paramètre b serait négatif, la même analyse conduirait aux formules

C^ co%bxdx "JT . C^ xûwbxdx w .

/o /w'H-ar* irn ' yo /w^'H-iT* 2*

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