On peut poser

et ia fonction F ainsi définie constitue une transcendante nouvelle si l'intégrale définie qui figure au premier nombre de l'équation ne peut pas s'exprimer algébriquement, ou par le moyen des transcendantes dont od a déjà des tables, soit pour des valeurs quelconques des limites (XoiO^i» soit du moins pour les valeurs spéciale» attribuées à ces limites. On peut toujours calculer numériquement, avec une approximation indéfinie [3îio], les valeurs de F^ pour chaque valeur de ,r, à moins que i la fonction / (^,a) ne passe par l'infini dans l'intervalle ' des limites de l'intégrale. On peut aussi soumettre la ;; fonction F.r à la différentiation ou à l'intégration par * rapport à .r, en difTérentiant ou en intégrant sous le w signe /î sans qu'il soit besoin d'effectuer l'intégration s relative à la variable auxiliaire a. :?

Les transcendantes dont il s'agit ici , supposées irré- b ductibles, sont d'un ordre plus élevé que les int^ i^ grales

\fxdx, (2)