DES INTÉGRALES A PARAMÈTRES VARIABLES
supposées pareillement irréductibles. £n effet, le carac-* tère essentiel de ces dernières transcendantes est d'avoir pour dérivées des fonctions fx qui s'expriment algébriquement, ou qui sont composées des transcendantes élémentaires dont on a des tables, tandis que la dérivée f'x a une expression
de même nature que celle de la fonction dont elle dérive. Si la fonction F'^ pouvait s'exprimer sans le secours du signe d'intégration définie, on devrait mettre l'expression de F^ sous la forme
Yxdx,
et alors elle sortirait de la catégorie des transcendantes (i) pour rentrer dans celle des ti*anscendantes (2).
Une fonction qui dépend de plusieurs quantités peut se ranger parmi des transcendantes de diverses catégories, selon que l'on prend pour variables telle ou telle des quantités qui entrent dans sa composition. Par exemple les fonctions elliptiques de première et de seconde espèce appartiennent à la catégorie des intégrales (2), si Ton y considère le module comme constant et la limite supérieure d'amplitude comme variable; et elles rentrent au contraire dans la catégorie des intégrales (i), si l'on y considère les limites d'amplitude comme toutes deux constantes, et le module comme une grandeur susceptible de varier sans discontinuité entre les limites o, 1.
413. La fonction /* pourrait passer par l'infini, dans l'intervalle des limites de l'intégrale, sans que la fonction Yx cessât d'être continue; et si, pour une certaine va-*
leur de a, ./ (•^9 ol) passait brusquement d'une valeur finie
à une autre, la fonction F.r n'éprouverait pas en gêné- ^
rai de solution de continuité. Ceci est une conséquence
des premières notions de la théorie des quadratures,
sur laquelle il n'est pas nécessaire d'insister.
Réciproquement , la fonction F peut éprouver des
solutions de continuité pour des valeurs de x qui
ne rendent pas discontinue la fonction Jl Soit par r
exerople j"
-, f^ sin ow: , \
yo a ^
on aura pour les valeurs positives de .r [4^7]? Fx=^j et pour les valeurs négatives de la même variable, ¥x=z — -Jtc. En conséquence, pour j;=o, la fonction Fx passera brusquement de la valeur 717 à la valeur — 77c, quoique cette valeur de jp ne rende pas di&continue
la fonction — De même, si l'on posait
OL
/** OLsinouc , Jo i-4-a' '
on aurait [4' ï] Fx=^Tçe'~'j ou Fjc= — î^^^j selon que la valeur de .r serait réputée positive ou négative, et Fr éprouverait le même changement brusque dans sa valeur.
On en conclut que l'équation
a pour lieu géométrique le système de deux droites MN, M'N' (^fig, 91) parallèles à l'axe des .r, qui s'étendent à l'infini, l'une du côté des x positifs, l'autre du côté des X négatifs, et qui s'arrêtent brusquement aux points ou elles rencontrent l'axe des^. A l'abscisse o cor-
