DES INT^GRA^LES A PARAMÈTRES VARIABLES

respond d'ailleurs la valeurj^=o, c'est-à-dire la moyenne des ordonnées OM =-;'rc, 0M'= — -j'»^. On reconnaît l'analogie de ces résultats avec ceux du n^ 1 1 3, où la valeur de y se trouvait exprimée par une série infinie, au lieu qu'ici elle se trouve exprimée sous forme finie, par le moyen d'une intégrale définie.

Ceci fait comprendre comment les intégrales définies, oîi la variable entre comme paramètre, peuvent être propres à représenter des fonctions discontinues , et comment le progrès naturel de l'analyse doit les amener, dans le traitement des questions qui supposent, comme condition essentielle, la discontinuité de certaines fonctions. L'emploi des intégrales définies offre alors cet avantage sur celui des séries, qu'on peut aisément faire subir aux premières les combinaisons et les transformations analytiques y de manière à reporter à la fin des calculs l'opération de quadrature arithmétique dont le signe d'intégration définie est l'indice, ou à éluder cette opération, quand elle n'est pas essentiellement inhérente au problème.

414. On tirerait de l'équation (3), par des transformations convenables, d'autres formules appropriées à d'autres cas de discontinuité. Soit, par exemple, la fonction .

^ sin a cos o^ , . .,

— doL : (4)

on a

sin a cos aLX:=L~ [sin(i + x)% -h sin (i — ^)a],

d'où

I /** sin(i--h^V , I /^'^sinri — x)aL , r=-l — ^ ^ doL+- I — ^^ ^rfa.

Or, d'après ce qui a été prouvé, l'intégrale

190 LIVRE V. - CHAPITBS XI..

se réduità^wpour .r > — i, età — ^itpour j;< — i; de même l'intégrale

sin (i - x)«^^

9111 ^JL

seréduità7iupourj:< i età — -jwpourx> i ni en résulte que la valeur de ^ est | i? quand jc est compris entre -[- 1 et — I, et que / devient nul quand la valeur dex tombe hors de ces limites. Par conséquent, si l'on prend OP=OP = i {Jig. 92), PM=:PM'=f it, le lieu de l'équation (4) sera formé de la portion de ligne droite MM' parallèle aux x^ et des lignes droites PX, P'X' limitées aux points P, P\ mais indéfinies dans l'autre sens.

415. De semblables solutions de continuité ont lieu pour des intégrales définies qui se déduisent d'intégrales j indéfinies dont on a la valeur algébrique. Considérons notamment la fonction de x exprimée par

f^ sin adoi ,,.

^ o Kl — %x cos a -+• 4;»

le radical devant rester positif dans toute l'étendue de l'intégration : on a

sin adoL i

V^ i — ixcosa-l-x* ^

ixcosa-f-x*

Aux limites 0=0, oc=:7r, le radical devient \/^(ïIIxfs

^/(i-f-^)* ; et comme il doit toujours être pris positivement, nous en conclurons

DES INTÉaRAUSI» A PARAMÈTRES VARIABLES. 191

l/(i-a.)az=±(i — x)^ selon quear i,

1/(1 + j?)a z=z ±: (i + or) 5 selon que ;i: — -i; doii

pour :r > I , j 11= - »

En conséquence, le lieu de l'équation (5) est formé '[fig. 93) de deux arcs MN, M'N' d'hyperboles équilatères, et d'une portion de ligne droite MM', parallèle à l'axe des x^

Dans ce cas, les solutions de continuité que la fonction

/éprouve pour xr=:\^ x-=. — J, ne sont que du second

ordre : sa dérivée

, /*w sinafcosa — x\ ,

y=/ 7 — ^ ïïTî^

Jo (l IXCO^OL + X )^

éprouve^ pour les mêmes valeurs de x^ des solutions de continuité de premier ordre, en passant brusquement de la valeur — 2 à la valeur o, et de celle-ci à la valeur 2.

Fonctions eulériennes.

416. Dans la catégorie des fonctions qui nous occu' peut rentrent notamment deux espèces remarquables de transcendantes auxquelles Legendre a imposé le nom ^intégrcUes eulériennes^ en mémoire du grand géomètre ^i ea a étudié le premier les propriétés, et dont les im^ mones travaux ont donné tant d'extension à toutes les hfftndiflS: de l'analyse. Les transcendantes eulériennes dapwtmièntspèee sont données par l'intégrale

192 LIVRE V. CHAPITRE Xt^

/'(i — a)'-'a-^-'rfa, ' (a)

qui devient

quand on pose

iH-P et nous les désignerons par le symbole {pc\jr). Les transcendantes eulériennes de seconde espèce sont données par l'intégrale

qui se transforme en

lorsqu'on fait

et nous les désignerons, diaprés Legendre, par le symbole Yx. 11 convient de considérer en premier lieu les transcendantes eulériennes de seconde espèce, qui sont les plus simples, puisqu'elles ne dépendent que d^une seule variable.