Changeons dans l'équation (^) ^ en ma : il viendra

c-^^d'-^doL = — •' . (b)

Ecrivons dans cette dernière formule ^-j-^ au lieu de

Xj i-|-^ au lieu de m : nous aurons

Multiplions les deux membres par p ■''■"' rfp, et intégrons par rapport à ^ entre les limites o, oo : il en résultera

Or, on a par la formule (b)

en sorte que le premier membre de l'équation (6) devient, après qu'on a effectué l'intégration par rapport

Donc l'équation (p) donne

T.Sr = Ti.+y).f^ j^^;, (7)

FONCTIONS EULI^RIfiNNBS. 195

Bt si l'on pose j:-[-j^= i, l'on aura

3u bien, en changeant^ en x^ et en remarquant que r(i) je réduit à l'unité,

DU enfin, d'après la formule (rf) du n"" 4^6,

ror.rri— ^)=-T-^î^- (c)

^ ' sm ira: ^ ^

Par cette dernière formule on calculera la table des valeurs de la fonction Tx entre les limites x=.o^ ^=^-kj quand on aura la table des valeurs de la même fonction entre les limites x-=^jX=:\.

Pour ^=^, la formule (c) donne

[r(i)]'=-.r, ou r(i) = v/;; (c.)

mais on a

r(7)==/ ^-PV/p.rfp=2/ e-'^dt,

ce qui fournit une nouvelle démonstration de la formule (a) du n** 4o3.

419. D'après la définition de la fonction eulérienne de première espèce, l'équation (y) peut s'écrire

Cette formule fondamentale, due à Ëuler, et dont nous venons de reproduire la démonstration donnée par M. Poisson, ramène au calcul de la table de la fonction Tx^ celui de la table à double entrée [ 1 16] qui donnerait les valeurs de la fonction {x\jr), pour les valeurs positives des variables x^y. On en conclut

W/) = Crk) ;

ce qui résulte d'ailleurs directement de ce que l'intégrale

(a) ne change pas de valeur par le changement de a en

On en conclut encore

(a: -h 55|/) . r(a: H-7 + z) = r(a: -4- J8) . rj, (;r|z) . r(j: -f- z) = Fa: . Fz,

z désignant une variable positive, aussi bien que x et/; et de là on tire

OU bien , en raison de ce que le second membre de l'équation précédente est une fonction symétrique des variables X^J'yZj

(^ + ^Ir) . {:r\z) = (j + z\x) . {x\z). De la combinaison des formules (c) et (d)j il résulte

Faisons dans l'intégrale (a)^=j;,a=^(ir-}-a)): nous aurons

et si Ton remplace maintenant tù par |/^ a, il viendra

En vertu des équations (d) et (C|), cette dernière formule est identique avec la suivante

On en conclut, pour un nombre entier i,

V ay a* a*-M.a.3...(«-i) a' "^ ^'

d'où

soircnoifs euleriennes. 197

•3.5...(«-i)=pL.r(*-i-i).