On a identiquement
ou
l'intégraie double du second membre s'étendant à toutes les valeurs positives des variables ^,y) qui vérifient l'inégalité
5 + TKK (8)
IMlais Fintégrale simple qui figure au premier membre de l'équation n'est autre chose que la fonction (a|p-j- 1): donc, en vertu de la formule d'Euler, et sous la condition exprimée par l'inégalité (8),
Posons
!='ÏJ' ' = 15
If'^
il viendra, en conséquence de cette formule,
^ ^ . afb9^ ra.rp
ou bien
la double intégration devant s'étendre à toutes les valeurs positives de x^j" qui satisfont à l'inégalité
198 LIY&B V. - CHAPITRE XI.
Les constantes oLj^^Ujbjp^q sont supposées positives. Si, pour fixer les idées, et aussi pour prendre le cas susceptible de l'application la plus fréquente, on fait p=:q=zQL'^ on aura, en étendant la double intégration à la totalité de Taire limitée sur le plan xjr par l'ellipse
et en quadruplant pour cette raison la valeur du second membre de l'équation (e),
// a^^^j^'^dxdy = a*b^ .
Cette formule reproduit l'expression connue de l'aire de l'ellipse, lorsqu'on prend a = p=i.
421. Soit maintenant un nombre n de variables .r,^,z, etc., et désignons par /^"^ une intégrale multiple d'ordre n : admettons que l'intégration multiple s'étende à toutes les valeurs positives de x,^, 2, etc., qui satisfont à l'inégalité
on aura
af^—y^'-^z'i~\n, dx dy dz,.,
Cette formule bien remarquable, dans laquelle Téquatiou (e) rentre comme cas particulier, a été donnée par M. Dirichlet; et l'artifice ingénieux de calcul, qui lui
FONGTlOirS EULÉRIEITNES. 199
sert à rétablir, a Tavantage de s'appliquer à beaucoup d'autres intégrales ('); cependant, nous préférerons le tour de démonstration suivant, employé par M. Liouville.
D'abord, au moyen d'un changement de variables, tel que celui qui a été pratiqué dans le n"" précédent, on remplace la formule (y*) qu'il s'agit de démontrer, par la formule plus simple
„.;ç.-.^-..ç,-.. . .^^;. . „^^^fi^^, (,)
l'intégration multiple devant s'étendre à toutes les valeurs positives des nouvelles variables ^^yi^C^ etc. propres à vérifier l'inégalité
Ç+Yi+Ç-f-etc. <i.
Substituons pour un moment à cette dernière condition la condition plus générale exprimée par l'inégalité
5 + 11 + ^ + etc. < 6,
6 désignant une quantité positive quelconque ; et posons en premier lieu
il s'agira d'obtenir la valeur de l'intégrale V.
Soit
Ç=p, ^=fx(i — v):
les limites de l'intégration, relativement aux nouvelles variables (x^v, seront respectivement o, 0;*o, i, et il viendra [364]
Posons maintenant
(') Voyez le Journal de mathémtuiquet de M. Liou ville, tom. IV, pag. 164 et aa5.
200 LIVAB V. CHAPITRE XI.
on pourra écrire Mais l'intégrale double
a pour valeur^ d'après ce qui précède^ donc
Enfin l'on a, toujours d'après le calcul précédent, en remettant pour Y), sa valeur, et en désignant par (Ai une nouvelle variable,
par conséquent
Si l'on fait présentement 6=i, on tombe sur la formule (f), restreinte au cas de trois variables; et comme l'analyse dont on a fait usage s'étend visiblement, par un calcul de proche en proche, à un nombre quelconque de variables, il en résulte que la formule (<p), et par suite la formule ( /), se trouvent établies dans toute leur généralité.
422. Remplaçons dans la formule (é), x — i par n et a par x : elle deviendra
ce qui donne, pour le cas de n entier positif,
FONGTlOirS EULÉRIENHES. 201
ainsi qu'on pourrait le déduire de l'équation (a) du n^ SiSy en y changeant a en — m.
Posons dans la formule {g) w=a-|-ip/d7,a désignant une constante positive , et mettons pour l'exponentielle imaginaire sa valeur en sinus et en cosinus : la formule deviendra
^^-(cos&ar- •=:; . s\nbx)dxz=z ^^^^j)^^, ,
ou bien, si l'on fait
b a' + **=p% - = tangX,
a (cos bx — l/'" . sin bx)dx
^ ' [cos(n + i)X— l/^II7.8in(/i — i)X].
Cette dernière équation se décompose en deux autres x^e"" cos bx.ax=-^ — - — ',cos(n + ijA,
x''er^sinbx.ax=i ^ f ^.sm (/i+ ijjA;
et dans l'hypothèse /2=;=o, celles-ci reproduisent les formules (f) du n* 407.
