CHAPITRE XII

DEVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SÉRIES TRIGONOHlS- TRIQUES. THÉORÈME DE FOURIER.

423. Désignons par ^ une fonction périodique dcr, de la forme

j=A,sinjr-f- A, sin2J7-|- A3 sin3jr+. • . + An^nnx: (i) chaque coefHcient A, étant indépendant de x. Représentons paryi une autre fonction de x qui peut être mathématique ou empirique, continue ou sujette à des solutions de continuité d'un ordre quelconque : on demande de déterminer les n coefficients A<, de telle sorte qu'on ait jzz^fx pour ces n valeurs particulières équidifférentes

7C 27r 3ir rvK , .

/ï+i n+iv /i-hi w+i^

comprises entre a:=o,a:=7r. En d'autres termes, il faut [^ 1 ] que la courbe représentée par l'équation ( i ) ait avec la courbe y^nfx^ n points communs , correspondant aux abscisses (2).

Appelons j^ yj^^ji ,.../„ les ordonnées de ces points communs : on aura pour déterminer les coefficients A» les n équations

ri=A,sm hAjSm h- . .-|-A„sm >

. . air . . 4*^ . . a/iic ,

7a=A,sm — • hA,sm — ; h. . .-f-A„sm — ; — t Ix^n

7„=AiSm |-A,sm h...-f-A„sm

n-f-i Tz-f-i /i+i

DEYZLOPPEMEIfTS EN SÉRIES TRIGONOMETRIQUES. 203

Si on les ajoute, après les avoir multipliées respectivement par

2 sin ? 2 sin , ... 2 sm ? ( 4 )

/ï+i rt-f-i n-\- 1

rinconnue A,7 aura pour multiplicateur

nr î'tç 2MC 2f'ic

asm , sin ■ + 2 sm . sm

mv: ni'iz

. . . -f- 2 sm • sm

c'est-à-dire la différence des deux sommes

(i* — i>fK afif — /)ic n(i' — iYK

i+cos-^ ^-hcos-^ ^ -f-...+cos-^' ^==î>ii