f.COsl— -^ +COS ^ ^ •+'...+COS -^ ^=S,. I
n+i n+ 1 n-\ri
Soit, plus généralement,
cosM-l- cos(tt+ if) + cos(w+af»). . .-f- cos(a+/i*') = S ;
on trouve , par un calcul semblable à celui du n"* 4^6,
« — cos(« — i;)4-cosa + cos(«-|-/ïf^) — cos[k-+-(/i + i)c^]
2(1 — cosc^) et pour £/=:o,
^ if COSAlf' COs(/l+lVl
2 L I COS \f J
Si l'on fait maintenant
(a iz: i)-K
00 aura
C08(/I-f- lV = lt I, COS«(^ = ±COSf',
selon que (^izfztji: sera un multiple pair ou impair de ^: ainsi, dans l'un et dans l'autre cas il viendra
cos/ïi' = cosi'.cos(/î+ i)c^, S=7[i — cos(/i4- 1)^], et par suite
S. =|[i — cos(«' — «>], S, =^[i — cos(i' +!>]. (S')
Tant que l'indice i est différent de / , les nombres i — /",
204 LIVRB V. — CHAPITRE XII.
/'-j-/ 80Qt pairs ou impairs en même temps; on a S, — S,=o; de sorte qu'à l'exception de A,-, tous les coefficients A disparaissent de la somme des équations (3), multipliées respectivement par les facteurs (4).
Pour z' =/, on a , en vertu de la seconde équation (SI), Sa=o; la première équation (S^ devient illusoire parce qu'on ne peut pas supposer l'angle ^ nul dans la valeur de S d'où cette équation a été déduite : mais dans ce cas la première équation (S) donne directement S,=/2-}-î*
En conséquence de toutes ces remarques on a pour déterminer la valeur du coefficient A, l'équation
et pour résoudre la question proposée il suffit d'attribuer successivement à i les valeurs i , 2 , 3 , . . , /i.
424. Plus le nombre n est grand , plus la courbe définie par l'équation (i) a de points communs avec la courbe jr=Jx, dans l'intervalle des abscisses a:=o, a:=ip. Donc à la limite (n=co) les deux courbes coïncident pour tous les points compris entre ceux qui ont pour abscisses les valeurs précitées. Or , à cette limite , la somme qui exprime la valeur de A, se change en une intégrale définie ; et si l'on fait
PC
il vient
Ç, zrî-^^<y /•.=/Ç,
A.= -/ siniÇ./SrfÇ,
et par conséquent
/> = - . 2 . sin ùrl sin il .y^WS, (fl)
le signe S indiquant que Ton attribue successivement à / toutes les valeurs entières positives , depuis l'unité in*
DÉVSLOPPEMSNTS EN SJÉRIES TRIGONOMl^TRIQTTES. 205
clusivement jusqu'à l'infini , et qu'on prend la somme de tous les termes ainsi obtenus.
La démonstration que nous venons de donner de la formule (a), appartient à Lagrange : elle se rattache à la théorie de l'interpolation , comme celle dont nous avons fait usage [98] pour établir la série de Taylor y et par suite celle de Maclaurin : et il convenait d'arriver par une même méthode à ces formules capitales pour le développement des fonctions en séries ; mais il reste encore à prouver que la série exprimée par le second membre de l'équation (a) est toujours convergente , quelle que soit la fonction^ sujette ou non à des solutions de continuité 9 pourvu seulement qu'elle ne devienne pas infinie entre les limites :r=o,:r = tu. La méthode que nous suivrons pour établir en toute rigueur, et sans restrictions inutiles, cette proposition essentielle, nous fournira en même temps une nouvelle démonstration, et même, sous certains rapports, une démonstration plus directe de la formule (a).
