Cherchons la limite vers laquelle converge l'intégrale

V sin m -

-: diùy

(A smo)

quand on prend pour / un nombre positif de plus en plus grand. A cet effet , remplaçons î par - , e désignant

un nombre positif qui converge indéfiniment vers zéro , et posons - =0 : il viendra

y—, dm= I *". — ^.sinOâtO. (iù)

(A siniù j!t sin& ^ '

Mais, quand on traite e comme un nombre infiniment

206 LIVRE V. — CHAPITRB XII;

petit, le facteur -; — ^ s'évanouit, à moins que sin e6 ne ■^ sin w *

soit en même temps infiniment petit, auquel cas

sin efl 6

donc 9 à la limite, on peut remplacer l'intégrale proposée par

'7sin0

Or on a [407]

sinB ^ I r* sîn8

fl^'^-Jl^Hr^^-

Maintenant si [xet v sont des nombres positifs, et si eest un nombre très-petit, les deux intégrales du premier membre de l'équation précédente sont l'une et l'autre à très-peu près égales à ^tu : donc leur différence, ou l'intégrale proposée (a>), est à très-peu près nulle, et à la limite (/=qo ) elle s'évanouit rigoureusement.

Par la même raison , dans le cas où l'on aurait \l=o , V conservant d'ailleurs une valeur positive quelconque, (to) prendrait, à la limite, la valeur 7 tc; enfin, si ^ désignait un nombre négatif et v un nombre positif, l'intégrale ((!)) convergerait vers la limite iz.

En conséquence, et comme on suppose que la fonction

y reste finie entre les limites de l'intégration, il arrive que,

pour des valeurs positives de /, de plus eu plus grandes,

correspondant à des valeurs positives de s , de plus en

plus petites, la limite vers laquelle converge Tintégrale

DÉVELOPPEMEITTS EN SERIES TRIGONOMJéTRIQUES. 207

est zéro si les nombres [jl , v sont de mêmes signes et différents de zéro. Elle devient 7 ij/(o) si le nombre (x est zéro ; et enfin elle prend la valeur tç/^o) quand les nombres (A, V sont affectés de signes contraires.

Dans cette dernière hypothèse, si h fonction /&> convergeait vers des limites distinctesyj(o) ,^(0) selon queû> convergerait vers zéro en passant par des valeurs négatives ou positives; ou, en d'autres termes, si la fonction fiù passait brusquement de la valeur ,/i(o) à la valeur /',(o), la limite icy(to) se trouverait remplacée par

Après avoir ainsi déterminé , dans tous les cas , la valeur limite de l'intégrale (o), nous passerons au théorème en vue duquel nous avons cherché cette limite , en suivant, pour cette dernière partie de la démonstration , une marche indiquée par M. Dirichlet (').