La fonction
Si== - I sin ^ / fl sin Icli -H sin ajr / J'I sin 2 WÇ + . . .
. . . -H sin ia: j f\ sin ^t^ 1
ou la somme des / premiers termes de la série (a) , peut se mettre sous la forme
- f yWÇ[a sinarsin5+ 2 sin 20: sin aÇ -H . . . -h 2 sin m: sin ij]
i Ç'^rçjS ^-*-cos(j: — $)H-cos2(a: — 5)-|-..^-cos^(a: — Ç) 1 .
"~i/ o*^ [-[i+cos(a:-hÇ)4-cos2(a:-f-5) -h..-hcos/(jr-f-5)]J ' D'après les formules du n^ 4^3 , on a
(*) Journal de math.y de M. Grelle, tom. IV, pag. t66.
208 UVRK Y. — CHIPITRB XII.
i+cos(a?±ï)-hcos2(a?±Ç)-f-. . .+co8i(j?±Q
i r cos/(:r±Ç) — cos(»+ 1) (^±5)1
aL I — cos(a7itÇ) J
iri+8in(t--H^)(x±?)1.
-~ul sm{{xztl) J
en sorte que la somme S,- devient
Faisons dans la première intégrales: — Ç=2(d, et dans la seconde j:-|-Ç = a(ù, d'où
c '/*«/•/ ^ \ sin(2;+i)fti içj îTr ^ ^ sm a>
I r^^^ V sin(2*+i)to
Nous admettons que x tombe entre o et ir, d'où il suit que les deux limites de la seconde intégrale sont positives, et que la limite inférieure de la première est négative. Dès lors, en vertu du lemme qui fait l'objet du numéro précédent , la seconde intégrale est nulle pour 1=00 . D'ailleurs, quand on fait (0=0 dans la fonction J'(x — aw), elle se réduit kjx : donc la limite vers laquelle converge la première intégrale est - . tvJx. Donc
TT
le second membre de l'équation (a) est une série convergente qui a pour somme^/r , sous la seule condition que la variable x reste comprise entre o et tt, et que la fonction fx ne devienne point infinie dans cet intervalle.
Si la fonction passait brusquement , pour la valeurs, d'une valeur finie à une autre, la valeur de la série (a) serait la demi-somme des deux valeurs que prend alors la fonction /[SS].
D]£VELOPP£M£KTS EN SÉRIES TRIGOOTOM ÉTHIQUES. 209 .
Il faut encore assigner les valeurs de S,- pour les vaeurs extrêmes de x^ savoir o et tt. Or , on a , pour x=o^
- ^ C^ jï N 8in(2i4-i)w, ^ C\nf X sin(2/+i)&), ir/__r^ ' smw '^J G sinw '
et pour:c=iu,
Si=-/ /(ic-aw). — ^-: ^aw — /^ /(aw— ^). — \ ^ flfe)
ïTa/y .sîn(2i+i)w, ^^C^j^f . sin(2i-f.i>> ,
îc/o sino) î/ï sin<«)
quantités identiquement nulles , quel que soit /.
427. Le second membre de l'équation (a) est une fonction périodique de x^ tandis que rien n'assujettit /i: à être une fonction périodique. En conséquence , lorsque fx ne s*évanouit pas pour .r = o et .t:=iu, la courbe qui a pour ordonnée
jr =:i -Ji.sin ùc I smil.fleKj (5)
est formée d'arcs disjoints, alternativement reportés de part et d'autre de l'axe des x (Jig. 94). Pour les abscisses des points de disjonction , l'équation (5) ne donne ni l'une ni l'autre des deux ordonnées OM^, OM, égales et de signes contraires, mais la demi«somme de c*es ordonnées ^ c'est-à-dire o.
