Exemples, i^/zz^^o

^x=8mx — 7sin2^-f- jsin 3j7 — •J;sin4^-f- etc., (6)

formule déjà trouvée [1 i3J. A cause que la fonction -5- x est impaire aussi bien que sin ix^ l'équation (6) subsiste , non-seulement pour les valeurs de x comprises entre o et ir, mais encore pour celles comprises entre — i:eto.

T. If. i4

/sin 1? sin ndi = ^^fcos{i—i)\d\ — i/cos(i + i')\di

=■ — T- ^\ /. . vN - + const^

210 LIYBE V. CHAPITRE XI f.

a** /ir=cos x:

os^ = - [ -+^ jsînajr-l- ( ^ -f- ^ j sîn 4^? -f- (^4-- JMn6j?+

3® Supposons enfin que fx soit égale à x entre les limites o,-j7c, et à 7c — ^x entre les limites -îTc^tt; de manière à représenter l'ordonnée d'un triangle isocèle^ ayant | pour base tu et pour hauteur ~ tc : on aura

/ smi^.fld^ = I *sin^t.Çcf5+ / smî^.^-K — Ç)rfÇ,

et la formule (5) donnera

y==-( smo: — ttt smoa:+ TrrSmDo: sin 7^: + etc. ).

429. Si l'on savait à priori qu'une fonction fx peut être exprimée, entre les limites o^tt, par une série convergente de la forme 2. A, sin ixj il suffirait d'un calcul bien simple pour déterminer les coefficients A«. En effet, de l'équation hypothétique

ya:==A, sin ^-f A, sin 20: + . . . + A/sînilr-l-etc.,

on tire

sin/;j/'5ÉK=A, sin^5sin Wï+ A, sin i^ sin 2^ -f* . . .

. . . + A, sin' iXcUi + etc. ; (7)

et puisque cette équation subsiste^ par hypothèse, quelque valeur que prenne $ entre les limites 0,7c, on a, en intégrant entre ces mêmes limites,

/ siniZ.fld^=A^ I simXsinldi+A^j sin i^ sin 2^+...

. . . + Ai / sin " ildl + etc.

J (> D'un autre coté

DÉVELOPPEMENTS EN SÉlUES TRIGONOMETRIQUES. 211

^xpre^ion que rend nulle le choix des limites 0,17, tant ]ue les nombres entiers /, i! différent l'un de Tuutre. Pour /=i', il vient [4oa]

sin ' ^dH = - TU.

En conséquence, le second membre de Téquation (7) se réduit au terme affecté de Ag,et Ton en tire

A,= - / sini$. Aû^,

ainsi que nous l'avons trouvé par un calcul plus compliqué. Mais, selon la juste remarque de M. Poisson, la méthode donnée en dernier lieu repose sur une hypothèse qui a besoin d'être démontrée, et qui consiste à admettre qu'une fonction quelconque peut se développer en série convergente, dont les termes pi»ocèdent suivant les sinus des multiples entiers de la variable.

430. Nous pouvons maintenant, par un changement^ de variables, modifier la formule (a), de manière que la formule transformée subsiste pour les valeurs de la variable comprises entre des limites quelconques, autres

que o et ir. Ainsi, en remplaçant x par — et \ par — ,

nous aurons

/( — )zzz:-2.sm 1 sm — ./ — Wc.

-^ \ a J a aj o a ^ \a J

Mais rien ne s'oppose à ce qu'on supprime les accents des variables .r', Ç'; et puisque la caractéristique /* désigne une fonction absolument arbitraire, il est permis

d'écrire fx au lieu de fi — j : en conséquence, il

vient

>=- il.sm -- / sin —./?</$; {b)

212 LIVRE V. CHAPITRE Xfl.

et cette dernière formule subsiste pour toutes les valeurs de X comprises entre o et a.

Si nous y remplaçons a par a/,^ par jr'+/,ÇparÇ'+ii elle deviendra

ou plus simplement, d'après ce qui vient d'être ex* pliqué,

cette dernière formule subsistant pour toutes les valeurs de X comprises entre les limites — /, -j-/. On peut mettre l'équation {b) éous la forme

/à? = -2.-sin — / sin — • fldl; •^ iz a a Jo a ^ ^

admettons maintenant que a devienne infiniment grand, et posons

--=a, -=tfa :

la limite vers laquelle converge la série, pour des valeurs de a de plus en plus grandes, est

yi= - / / sInou:sinaÇ.y^^rfa; (^

de sorte que la valeur deyi, entre les limites o, oo , se trouve exprimée par une intégrale définie double. Cette expression toutefois deviendrait illusoire dans le cas où, par suite de la nature de la fonction^^ l'intégrale double, dont les limites supérieures sont infinies, ne conserverait pas une valeur finie et déterminée [324]»

Prenons /r= -: la fonction y* devient infinie à la limite ;r = o; cependant on tire de la formule {d)

DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMéTRIQUES. 213

I a /** r ^ sin a? /* ^

- = ~ / / sIn ou; — ;: — didoL=l sin ccxdoLj

30 icjo J o \ J o

ce qui s'accorde avec le résultat du n<> 325.

431. £n opérant de la même manière que nous l'avons fait dans les n""' qui précèdent, on démontrerait qu'une fonction quelconque, assujettie seulement à ne pas devenir infinie entre les limites o , tu de la variable x^ peut se développer entre ces limites par une série convergente, procédant suivant les cosinus des multiples de l'arc x\ et l'on établirait la formule y^r = Ao + A J cos a: + Aj cos 20: -h ... -f. A, cos tx + etc., dont les coefGcients sont donnés par les équations

TT/ O ly O

de sorte qu'on peut écrire

I r*^ 2 /*'ïf

/■j:==: - / f\d\ + — . 2 . cos ixl cos i\ .f\d\. [c)

La valeur du second membre de cette équation, qui est une fonction paire et périodique de Xj est représentée par l'ordonnée d'une ligue symétrique relativement à l'axe desjr (^^. gSj, et sans points de rupture correspondant aux abscisses x=:o, x==t:; en sorte que la formule subsiste à ces limites, sans modification.

De cette formule ou tire la suivante

qui subsiste entre les limites o,ei, et à ces limites mêmes. Puis, en supposant infinie la limite supérieure a^ on obtient

fx =~ I I cos ax cos a? . fl d\ doL. (g)

En suivant la même analogie, on trouve encorç

214 LIVRE V. CHAPITRE XIK

formule qui subsiste entre les limites — /, -j- /, et même à ces limites.

432. Pour donner quelques applications de ces dernières formules, prenons successivement

on aura, par l'équation (e)y entre les limites o, ît,

~x = -ir I cosar-hô^cosSor + p-cosSar +elc. m

2 4 fcos 2 j: cos Acc cos 6x 1

i. ,ç = cos ^ — J cos 3^ + ^ cos 5a: — y cos 70: + etc.

Il suffit de faire .r=o ou xz=ztz dans chacune de ces dernières formules, pour avoir autant de développîemenU curieux du nombre transcendant r, et ces développement peuvent être variés à l'inOni.

Multiplions par dx les deux membres de la dernière équation obtenue, intégrons entre les limites o,.r, et divisons par ^ 7c : il viendra

-x-=z - Tsino; — tt sin 3a:-|- rr sin 5.r sin 70:+ etc.l. (i i)

a ir'- 3' 5' 7

La série (9) étant convergente, celle-ci l'est à fortiori; et ce rapprochement des deux formules montre qu'une même fonction peut avoir plusieurs développements convergents, procédant suivant les sinus des arcs multiples: ce qui distingue essentiellement les séries dont il s'agit dans ce chapitre, des développements suivant les puissances de la variable, qui ne peuvent être opérés que (l'une seule manière, par la formule de Maclauriti. H résulte aussi de cette roniarquo que le procédé du u** 4^9 ne donne pas tous les développements que la fonction

DEVELOPPEMENTS EN SISrIEIS TRIGONOM^TRIQUES. 215

est susceptible de recevoir en séries procédant suivant les sinus ou les cosinus des arcs multiples.

433. Si Ton ajoute membre à membre les équations (a) et (e)y et qu'on prenne la moitié de la somme, il viendra

= — / y^rf? + - 2[sin w; / êin il. fldl'\- cos ixl cosil.fldl]

=—f''fldl + ^ l..f''cosi{x — \).m\. (i)

a'ïyo T^ J o

Le lieu géométrique de l'équation

est formé (fig. 96) : i® d'un système d'arcs disjoints... M^N^^,MN,M"N",.- ^^ àes portions de l'axe des abscisses, comprises entre les ordonnées des points oii ces arcs s'interrompent. On en conclut que la formule (i) ne subsiste aux limites o et ir que si l'on a o=f(o)=f(Ti). Dans le cas contraire, la série donne -7 /"(o) pour x=:o et î:/(7r) pour a:=7r.

En combinant de la même manière les formules (é) et {f)y W ^^ (^)? W et (/«), on trouve

fx=^-l I cosa(:c — l),fldldaj

434. Toutes ces formules sont encore susceptibles de nombreuses transformations : nous nous bornerons à en indiquer une.

Soit Jx une fonction qui a pour valeur ?.r, de zéro à Uj et pour valeur l^^r, de zéro h — a : d'après la formule (^), la fonction

2^0 ^ a Jo a

se réduira à qu; pour les valeurs de x comprises entre o et a, et à zéro pour les valeurs de x comprises entre o et — a. Pareillement la fonction

!3LaJ — fl ^ a J ^a a ^ ^

se réduira àij^r pour les valeurs de x comprises entre 0 et — a, et à zéro pour l^s valeurs de x comprises entre o et a. Donc la fonction

se réduit à ^x pour les valeurs de x comprises entre — a et o, et à^ pour celles qui tombent entre o et a\ ce qui revient à dire que la formule

•^ laj —a*' a J -^a a «^ ^ '

subsiste pour toutes les valeurs de x comprises entre — a et -j-a. On pourrait changer a en /, et l'on aurait une formule distincte de Téquatioa (/), quoique toutes deux subsistent pour les valeurs de j: comprises entre les mêmes limites.

435. Par un procédé semblable à celui du n° 43o, on tire de l'équation (//?), en y supposant ^=00 ,

fx=-l I cosa(ar — l).f\d\dcL'^ [n)

et cette dernière formule subsiste pour toutes les valeur^ réelles de ,r, puisque l'intégration relative à ^ s'effectua entre les limites — oc , -|-qc . On lappelle la fornndr^

DEVELOPPEMEIfTS EN SERIES TRI GONOM ETRIQUES. 217

ie Fourier^ du nom du géomètre célèbre qui en a enrichi l'analyse. La démonstration de cette formule résulte de ce qui précède; mais, à cause de son importance, nous en donnerons une autre démonstration plus simple et plus directe^ due àDeflers,de son vivant maître de conférences à TÉcole normale.

Soit

/=-/ / cosa(jr — \)»f\d\d(X,\

et effectuons d'abord Tintégration relative à a enti*e les limites o^o, sauf à faire a=Qo après la seconde intégration : il viendra

I r^ sina(jF — X) ny jy, I r^ sinz >/ z\ .

en posant ç = a: — • —

oc

Or, quand on fait a=QO , on a

excepté pour les valeurs de z qui sont elles-mêmes infinies, valeurs auxquelles on peut se dispenser d'avoir

€gard, à cause que le facteur rend infiniment pe-

tite la portion correspondante de l'intégrale : on a donc

simplement

i ^ f^ s\nz r = - f^l dz=fj^.

Quand la fonction /* est telle que l'intégration relative i la variable $, indiquée dans la formule (/i), puisse s'efectuer, cette formule détermine les valeurs d'intégrales léfinies simples, comme celles qui ont fait l'objet des leux derniers chapitres. Supposons, par exemple, que/i 3oive se réduire à <?~', entre les limites o, x> : on a [4^7]

cosaî.6"-^âfÇ=

et en conséquence la formule (n) donne^ pour toutes les valeurs positives de Xj

'* cos axda