CHAPITRE PREMIER
DE l'intégration des ÉQUATIONS DIFFÉKENTIELLES A DEUX VARIABLES ET DU PREMIER ORDRE.
437. On peut envisager sous deux aspects le problème de rintégration des équations différentielles entre deux variables. Sous le premier point de vue, il s'agit de trouver, entre la variable indépendante et la fonction, une équation qui satisfasse de la manière la plus générale à l'équation différentielle proposée, au moyen des valeurs qu'on en déduit pour les coefïiciens différentiels des divers ordres. En d'autres termes, il s'agit de trouver l'équation la plus générale des courbes qui jouissent en tous leurs points de la propriété exprimée par l'équation différentielle.
Sous le second point de vue, le problème de l'intégration consiste à déterminer la série des valeurs numériques par lesquelles doit passer une fonction en partant d'une valeur numérique assignée, quand la loi des variations infinitésimales de la fonction est exprimée par une équation différentielle donnée. Nous verrons qu'il
se présente des cas oîi le problème de rintégration des équations différentiel les ne se résout pas de la même manière, selon qu'on l'envisage sous l'un ou sous l'autre de ces aspects.
On a indiqué [liv. 111, chap. Y] les liaisons qui subsistent entre une équation différentielle d'un ordre quelconque, et les intégrales ou les équations primitives des divers ordres dont on peut concevoir que la proposée dérive, par la différentiation immédiate ou par la différentiation combinée avec Télimination des constantes. En nous appuyant au besoin sur les principes posés dans le chapitre cité, nous commencerons par examiner les cas principaux où l'on peut retrouver l'intégrale de laquelle dérive une équation différentielle proposée. Nous étudierons ensuite, sous le second point de vue^ la théorie des équations différentielles.
§ i^**. Sëparation des variables.
438. La formule générale des équations différentielles du premier ordre à deux variables est
Si cette équation est algébrique et du premier degré par rapport à^*', on peut la mettre sous la forme
ff{x,y)dx -f- \{x,y)dy =^ o. (a)
L'équation (a) s'intègre toujours, ou du moins l'intégration est ramenée à de simples quadratures , lorsque les variables y sont séparées^ c'est-à-dire lorsque cette équation est mise sous la forme
fadx + tjdy=o.
L'intégrale générale est alors
C désignant une ronstante arbitraire, ou
EQUATIOirS DU PREMIER ORDRE. 221
/ fxdx+l f/rf^=o,
en passant aux intégrales définies, et en représentant j>ar^'^, la valeur de ^ qui correspond à l'abscisse x^. Soit proposée, par exemple, Téquation
jrdx — xdjTf^iOi (a)
on la mettra sous la forme
dy dx
y oc
et les variables se trouvant séparées, on aura en intégrant log^ — log x=C, d'où l'on tirej-=:c^, en désignant pr c le nombre dont le logarithme est C.
La séparation des variables s'opère immédiatement, toutes les fois que l'équation (i) se présente sous la forme
y=fx.fyy d'où '^=fxdx.
439. D'autres fois la séparation ne s'opère qu'au moyen d'une transformation ou d'un changement de variables. Si, par exemple, les fonctions ^^i/ qui entrent dans l'équation [pt) sont homogènes [122^] par rapport aux variables x^j'j on posera y=zxty d'où
n désignant la somme des exposants de .r et de ^ dans
chaque terme de l'équation proposée. £n conséquence
cette équation, après la suppression du facteur af^ de*
viendra
fi.dx + ft,(xdt 4- tdx) = o , d'où
dx ft,dt
équation où les variables sont séparées. C'est ainsi que l'équation
222 LIVRE VI. — CHA.PiTRe I.
xdf — ydx = t/x» -+-^> . dx devient
dx dt
(1*011, en intégrant par logarithmes et en repassant ensuite des logarithmes aux nombres,
X or*
=— r + V/îï+Tï,
.zr* — 2CJ — c' =o.
En effet, lorsqu'on différentie cette dernière équation et qu'on élimine c entre l'équation primitive et sa différentielle immédiate [162], on retombe sur l'équation différentielle proposée.
Il arrive en certains cas que l'on peut, par un changement de variables ou de coordonnées, rendre homogène une équation qui ne l'est pas. L'exemple le plus simple de cette transformation nous est fourni par Téquation
(ax +v^j + c)dx + {a'x 4-^^-4- c')djrs=2 o. Si l'on pose x':=z^-\-oLjj^=rn'^^(cecim revient à déplacer l'origine des coordonnées x,^, sans changer la direction des axes), et si l'on dispose des constantes arbitâ'aires a,p, de manière à satisfaire aux équations de condition
«a 4- ip + c = o, a'oL + i'p -h c' = o,
Téquation proposée deviendra
(al -h iri)di 4- {a'I + b'ri)d'n = o ,
et sera rendue homogène. La transformation précédente ne serait plus possible, si Ton avait a// — ba'=o^ ce qui rendrait infinies les valeurs de a,P. Mais dans ce cas l'élimination de ô' met l'équation proposée sous la forme
EQUATlOirS DU PREMIER ORDRE. 223
a' [ax + by) {dx H dy) + cdx + c'dj^^ o;
et si l'on pose ax -[- éjzzz tj on obtient une équation en t^dtjdxj oîi les variables se séparent sans difficulté, comme dans toutes celles oîi l'uiie des variables n'entre que par sa différentielle.
§ 2. Équation linëaire do premier ordre.
440. Une transformation très-simple opère aussi la séparation des variables dans l'équation
y +Xfi:=^ f^, (3)
que l'on nomme équation linéaire du premier ordre, parce qu'elle ne contient ni les puissances, ni les produits de la fonction^ et de sa dérivée^'. Soit
j = 6^, dy ^= y.t + tdf^ ^
9 et t désignant deux fonctions auxiliaires et inconnues de X : la proposée deviendra
Mt + td^ + ^t.fxdx =3 îxdx.
On peut disposer des fonctions indéterminées t et 0, de manière à décomposer cette équation dans les deux suivantes
^dt = (xdx^ d8 H- 6 ,fxdx t= o,
La seconde se prête à la séparation des variables et donne
Après qu'on a substitué cette valeur dans la première, il
vient
dt=ixdx.6ff'^y t^ffxdx.eff'^^ + C^
doù
y = [fixdx . eff*^ + C] . e-ff"^.
Exemples, i" il vient
224 LIVRE VI. GHAPITBE I..
ffxdx =^ x^ y*£r<Zr .e* = — fe^xdx c= (i — x)e^ -h C;
7=1 — JF + Ce-'.
on a
ffxdx=^x^ fixdx.é'=^ — é'\x^ — Zx^ +6{x — i)] + C, j=— [x^ — Zx^'^ 6{x — i)] + C<j-'. (4)
dans ce cas les exponentielles disparaissent , puisqu'on a
j/xdx= I — = logar, tf/A'^ = «W' = d:,
d'où Ton tire sans difficulté
On intègre de même l'équation
car^ pour la ramener à la forme de l'équation (3), il suffit de poser j^==u.
Enfin, si la proposée était
/+7/ï=j"fj7, (5)
on la ramènerait encore à la forme (3), en posaat
^""'= -. L'équation (5) est connue sous le nom d'cqua-
don de BernoulU.
441. Lorsqu'on intègre une équation différentielle en commençant par séparer les variables, l'intégrale peut se présenter sous une forme mal à propos compliquée : elle peut affecter une forme transcendante, quoique l'équation proposée comporte une intégrale algébrique. C'est ce qu'on a vu [438] sur l'équation très-simple
lÊQDATIOlfS DU PREMIER ORDRE. 225
ydx — Mijr==o^ dont l'intégration, par la séparation des variables, amène le signe transcendant logy qu'on peut ensuite faire disparaître, en se prévalant des propriétés de la fonction logarithmique. Prenons encore pour exemple l'équation
\/lzrp.dx+ i/t— a:*.rfr=o : (6)
si l'on sépare les variables elle deviendra
dx djr
et préparée ainsi elle conduira à l'intégrale de forme transcendante
arc sin x + arc sin jt= A, (y)
où k désigne la constante arbitraire. Mais, en intégrant par parties chaque terme de l'équation (6), et en désignant par \L une autre constante arbitraire, on aui*a
Les deux termes de cette équation qui sont affectés du signey peuvent se grouper en un seul
pourvu que l'on regarde^ comme une fonction implicite de Xj déterminée par l'équation (6). Or, en vertu de cette même équation (6), le facteur qui multiplie xj sous le signey est constamment nul : donc la proposée a pour intégrale algébrique
^l/'r=7^+rW^T^^ = [*., (8)
ou, par l'évanouissement des signes radicaux,
La valeur de la constante \l dans l'équation (8) est celle de la variable j quand x est nul : si l'on fait à la fois x-=.o^ jr=z)L dans l'équation (7), elle deviendra
T. II. i5
226 LIVRE Vf. — CHAPITRE ï.
arc sin [*=*,
ce qui ramène cette équation à la forme
are sin x + arc sin / = arc sin (i^ (g)
Il faut que ies deux équations (8) et (9), qui sont Tune et l'autre des intégrales complètes de la proposée, la première sous forme algébrique, la seconde sous forme transcendante, rentrent l'une dans l'autre; et en effet, l'identité de ces deux équations résulte de la formule
sin a cos b -^ sinb cos a == sin (a + 6).
Si cette relation n'était pas donnée par la trigonométrie élémentaire y elle résulterait du rapprochement des formules (8) et (9); et l'on constaterait ainsi une propriété fondamentale de la fonction transcendante arc sin x, ou de l'intégrale définie
da:
CVsten procédant d'une manière absolument semblable que nous avons établi, dans le chapitre IV du livre préctnlont, les formules pour l'addition des fonctions elliptiques.
^ ^. Ou facteur propre à rendre Téquation intégrable.
•Vi2. Quand le premier membre de l'équation (2) est une diflViH>nhoUe exacte </.trf'.r, r\ on trouve cette fonction trf jvir le calcul indiqué [394], et l'intégrale se pn^onto sous la forme tS .r, )*^=r, c désignant une iH>«xS(anto arbitraire. Riviproquement, après qu'on aura obtenu, par \in tvoyon quelconque, l'intégrale de l'équation ^^Ji^ i\>niYvons qu'on la mette sous la forme t»>*ij\ >^ <^ on rt^Si^lvant Téquatiou obtenue par rap-
ÉQUàTIOlfS DU PREMIER ORDRE. 327
porl à la constante arbitraire que rintégration a introduite : la différentiation donnera
rfcJ , dvt ,
équation dont le premier membre est nécessairement une difFérentîelle exacte^ et qui doit subsister en même temps que l'équation (2). On aura donc
dxi dxi
dx dy
|i désignant en général une fonction de x et de j. Par conséquent, si l'on multiplie le premier membre de l'équation (a) par le facteur (a, ce premier membre deviendra identique avec la différentielle totale éZ-d, et satisfera à la condition d'intégrabilité.
Ainsi le premier membre de l'équation (a) ne satisfait pas à la condition d'intégrabilité; mais comme on a trouvé [438] pour l'intégrale de cette équation
r „ ^ xdy — ydx •^s=c, dou — - — -^ =0,
on voit que le facteur —^ est celui qui rend le prc-
mier membre de la proposée une différentielle exacte. De même l'intégrale de l'équation
(7 + \/^+r)dx — xdy^=^o
pouvant [4^9] être mise sous la forme
„ . xdx + ( 7 — \/x^ + y^)dy
il en résulte que le facteur par lequel il faut multiplier la proposée pour en rendre le premier membre une différentielle exacte, est
f y — Vx* -^y ,
443. Il est à remarquer que, quand on connaît une valeur du facteur (x, on peut en déduire une infinité d'autres : car, puisque
on a
[L{{n)[<f{x,x)dx 4- M.^xr)4r] = f(trfytrf, (10)
((ri) désignant une fonction quelconque de la quantité xj dont on connaît la composition en x^. Or l'expression f(Ti)dvi est essentiellement une différentielle exacte, et la détermination de la fonction dont elle dérive résulte d'une simple quadrature : donc le premier membre de l'équation (lo)est aussi une différentielle exacte. En d'autres termes, le facteur ^L f ('CJ), où les fonctions ii^ri sont connues, et où la fonction f peut être particularisée d'une infinité de manières, jouit comme le facteur (jl de la propriété de rendre le premier membre de l'équation (2) une différentielle exacte.
Prenons pour exemple l'équation (a), et supposons simplement f (xsiJ) =vi. On a dans ce cas
Ce dernier facteur rendra donc le premier membre de l'équation proposée une différentielle exacte; et en effet l'on a
444. Pour déterminer à priori le facteur (jl, il faudrait satisfaire à l'équation
dy dx ^
OU
^iy ^dx^^\dy dx) '
mais TintëgratioD de cette équation qui est aux différences partielles par rapport à la fonction ^ des deux variables x^jr^ suppose en général, comme on le verra par la suite, l'intégration préalable de l'équation {^). Ce n'est que dans des cas très-particuliers que l'on peut assigner le facteur (i et par suite ramener l'intégration de la proposée aux quadratures.
Si , par exemple, le facteur p. ne devait renfermer que la variable x, l'équation précédente se réduirait à
d^ I /rf(p cft];'
I a(A I /oç dif\
\L*dx ^\dy dx)'*
et en vertu de l'hypothèse, il faudrait que le second membre de cette dernière équation se réduisit à une fonction fx de la seule variable x. On aurait donc }f=.e!^*^. D'ailleurs on ne restreindra pas la généralité de l'hypothèse en posant ^= i, puisqu'on peut toujours admettre que l'équation (2) a été divisée par le coefficient de dy ; et dès lors, il faudra que le coefficient ^
soit indépendant de^, ou qu'on ait
^x^)=yfx-\-ix\
cW-à-dire que ce cas est celui où la proposée se présente sous la forme d'une équation linéaire du premier ordre.
