Quand l'équation (2) est homogène, elle peut s'écrire

et l*on a vu [4^9] qu'elle se change en

230 LIVKE VI. — CHAPITHK 1.

dx \x) X , .

équation où les variables sont séparées, et qui est par conséquent une différeutielle exacte. Le facteur par lequel il a fallu multiplier (i i) pour obtenir (12) est

fi =

La condition d'intégrabilité appliquée à la fonctioD

qui doit être une différentielle exdcte quand les fonctions f, i}; sont homogènes et du même degré, donne

^d.f^{x^) ^ d.(f{x^) ^d.^x^) ^ d.^(xj) dx df dx dj

Donc chaque membre de cette dernière équation a une valeur indépendante de la forme des fonctions f ,^, et si l'on prend ^(j:,^)z=:x", il vient, conformément au théorème des fonctions homogènes [122],

§ 4* I)^& équations supérieures du premier ordre.

446. Si l'équation ( i ) renferme la dérivée^' élevée au carré ou à des puissances supérieures, on en tirera par la résolution algébrique d'autres équations

y — f,(jr,j)=o, /— f,(^,7)=o, etc., en nombre égal à celui qui indique le degré de la proposée par rapport à y , On les intégrera séparément, si c'est possible : et chaque intégrale 5 complétée par une ,

GOQstante arbitraire, satisfera à la proposée. Le produit de toutes ces intégrales satisfera donc de la manière la plus générale à Féquation différentielle proposée; ou, en d'autres termes, ce produit en sera l'intégrale générale. On pourrait désigner les constantes arbitraires qui entrent dans chaque facteur par des lettres différentes; mais on ne restreindra pas la généralité de l'intégrale en désignant toutes ces constantes arbitraires par la même lettre; puisque, si l'on attribue à cette lettre unique toutes les valeurs numériques possibles, on obtiendra évidemment toutes les intégrales particulières que chaque facteur de l'intégrale générale est susceptible de fournir. Par exemple, la résolution de l'équation

/'* — aar=o donne

équations qui ont pour intégrales

c+x — |V/^ = o, c^ + y '\- \\/mc^ t=io.

.En faisant le produit on a, pour l'intégrale générale de la proposée,

et l'on n'en diminuera pas la généralité si l'on posec,=c, ce qui donne au produit la forme rationnelle

Il est visible, par la théorie de la composition des équations algébriques, que dans tous les cas l'intégrale générale sera rationnelle en x^y, lorsqu'on identifiera les constantes arbitraires qui entrent dans chaque facteur irrationnel, et lorsque la proposée sera elle-même rationnelle en Xj y^y.

447. Il y a possibilité dans certains cas d'éluder la résolution de l'équation proposée par rapport à^'. Si,

232 LIVRE VI. GHÂ.KfTH£ I.

par exemple, la variable y ii*y entre pas, et qu'elle soit réductible à la forme x=.fyj on aura, en appliquant à la fonction dj=iydx la règle de l'intégration par parties,

y=yx-fxdf + C=fJj^—/ffdf+C.

Lorsque la quadrature indiquée dans le dernier membre de cette équation pourra s'effectuer algébriquement, il n'y aura plus qu'à éliminer^' entre cette équation et la proposée pour obtenir l'intégrale complétée par la constante arbitraire C. On traiterait d'une manière semblable

l'équation ^1= /y, après avoir posé ^'=—„ c'est-à-dire

après avoir pris^ pour variable indépendante.

448. Quand la proposée sera de la (ovme jr'=zf{x^\ on en tirera

dx df dx

Cette dernière équation est du premier ordre par rapport aux variables x^ : en admettant qu'elle tombe dans la catégorie de celles qu'on sait intégrer, il suffira d'éliminer / entre l'intégrale obtenue et la proposée, pour avoir l'intégrale même de la proposée. Par exemple, si celle-ci est de la forme

on aura

. dy' dx cp'r' A'r'

et par suite [44^]

On doit remarquer en particulier l'équation

j = xy' -h ^j', ( 1 3)

l'où Ton tire par la différeutiation

Od satisfait à l'équation (i4) en posant

^=o, d'où /=«,

et la substitution de cette valeur de y dans l'équation (i3) donne pour intégrale générale

équation d'une ligne droite qui se déplace sur le plan xy quand on fait varier la constante arbitraire c.

On satisfait encore ft Féquation (i4) en posant

et si l'on élimine^' entre les équations (i3) et (i6), on aune équation en x^jj qui satisfait à l'équation (i3), mais qui n'en est pas l'intégrale générale, puisqu'elle ne contient pas de constante arbitraire, et qui n'est pas non plus une intégrale particulière, puisqu'on tire de l'équation ( 1 6) une valeur de y' en x^ incompatible avec les valeurs ^'=c, tirées de l'intégrale générale. Cette équation résultante en x^jr est donc une intégrale singulière de la proposée [i64]*

Il faut remarquer que l'élimination de c entre l'équation (i 5) et sa dérivée par rapport à c,

<j*'c + j: = o, donne la même équation finale en x^y^ que l'élimination \^ y entre les équations (i3) et (i6) : ce qui doit être, puisque l'intégrale singulière représente [189] la courbe enveloppe de toutes les droites qu'on obtient en faisant varier sans discontinuité, dans Féquation (i5), le paramètre c.

y%i»HPlM^%i^^»^»»<K^X»^»^^>»»»WI^<tl>^***^»»^^^*^^^%*^^<*^«*»%^^^»*W»*0*<— «»»»%»»»W

CH/IPITRE n.

DR L'ilfTiGBATION DES liQUAtlÔNS DIFFÉRBHTIELLES DFS ORDHES SUPERIEURS, IT BH PABTIGIIEUR 01 l'uNT^IgRATION des iQUATIOBS DIVFjfauOmSUJBS UirÉAlRES.

S i**^. De rabaÛMinefii de l'ordre dm ëqnstîoiie dUGArtotMitt.

449. On rainène toujours aux quadratures l'intégratioo des équations dilSerentielles d^un ordre quelconqoe, de la forme

j^H-Oo=^.), ou ^-^Sj^)\ (i)

car on en tire On a ensuite

et en continuant ainsi on obtient la valeur de^ exprimée en fonction de ^"^ par une suite de quadratures. II ne s'agit plus que d'éliminer^") entre la dernière équatiofl obtenue et l'équation (a), pour avoir l'intégrale de Fé- j quation ( i j, complétée par /i-^ i constantes arbitraires

Par exemple, l'équation du second ordre

ÉQUATIOJNS DES OBDBES SUPÉRIEURS. 235

donne d'abord

dx= — , ,3> d'où x=G . (3)

On a ensuite

et en éliminant j on tombe sur l'équation d'un cercle

[x^cy+{x—G,y^a\ . (4)

Effectivement l'équation proposée exprime [190] que le rayon de courbure de la ligne plane dont x^jr désignent les coordonnées courantes, est égal à la constante a.

Lorsqu'on pourra résoudre l'équation (a) par rapport à ^"'^ et en tirer

il viendra

jC—») =fdxfi{x, C)rfT + C . a: + C . ; et en continuant ainsi, on obtiendra immédiatement, par une suite de quadratures, la valeur de^ en Xy renfermant /i-^ I constantes arbitraires.

Ainsi, de l'équation (3) l'on tirerait

•^ ~~ V/ini(a:-C)»'

d'où

, C ix — Odx ^ ^

ce qui conduit encore à Téquation (4).

450. On ramène pareillement aux quadratures l'intégration de toute équation de la forme

j(M-.)=,^.), ou .^==/VW; car ou en tire

236 UV&K YI. CHAMTRX U.

et en intégrant d'oii

<fy(-)

Ci; (5)

Il vient ensuite

et en continuant de la même manière on obtient k n^ leur de jr en fonction de y^^ par une suite de quadra- » tures. Il n'y a plus qu'à éliminer ^"^ entre la dernière équation obtenue et l'équation (5) : l'équation rétaltànte est l'intégrale générale que l'on^ cbnche.

Quand l'équatirâ (5) peut se mettre sous la forme

j(-)=f(ar,CC,),

on obtient immédiatement , comme tout à l'heure, par des quadratures successives, la valeur de jr en x^ renfermant le nombre de constantes arbitraires requis pour la généralité de l'intégrale.

L'équation

que l'on rencontre fréquemment en mécanique^ a donc pour intégrale complète

ordinairement, dans cette formule, la variable x désigne le temps.