Lorsque l'équation à intégrer est de la forme
on a , en intégrant n fois de suite par rapport à j;, et en écrivanc, pour simplifier, f^*^ a^l lieu dejfy/^^^an lieu de JJf, et ainsi de suite,
Mais, au moyen de l'intégration par parties, on remplace, dans le dernier membre de l'cquation précédente, l'intégrale multiple par une suite d'intégrales simples. En effet, l'on a, en omettant d'abord les constantes,
f^*)fxdx * = fdxffxdx = xffxdx — ffx . xdx^ P^xdx'' =fdxfi-)fxdx^ ^fxdxffxdx-^fdxffx.xh, fxdxffxdx=^^x*ffxdx — ^ffx.x^dx^ fdxffx.xdxf=^xffx.xdx^^ffx.x*dxj d'où
f^^)fxdx^ = {x^ffxdx — %xffx.xdx + /fx^x'^dx).
On trouverait de même
= 5 {p^ ffxdx—Za^ ffx,xdx H- Zxffx.x^dx ^ffx^dx),
d'où, par induction,
f{^)fxdaf^=:. •^— r j xr-^ffxdx xf^-^ffxadx
ou symboliquement
en convenant qu'après le développement on fera passer les puissances dessous le signe ^ et qu'on remplacera ensuite Ç par x.
On démontre celte formule, comme celle du binôme, et comme toutes les formules analogues, en prouvant que si elle est vérifiée pour une valeur particulière de /î, elle subsiste pour la valeur consécutive /i-[- i.
Nous aurons donc, en rétablissant les constantes arbitraires que chaque intégration introduit, et en conservant, pour abréger, la notation symbolique employée ci-dessus,
(x-iy-^ffxdx ^ ^ ^ ^
EQUATIONS DES ORDRES SUPI^RIEURS. 239
S a. Des facteurs propres à rendre iotëgrables les équations difTërentieUes des ordres supérieurs.
453. On peut toujours concevoir qu'une équation difFérentielle de l'ordre n a été ramenée à la forme
/{^^ïyfiï^ • • •/'•"'^) +/"> = o. (7)
D'un auti*e côté, si Ton représente par
Téquation d'ordre n — 1 dont la proposée dérive, C désignant la constante arbitraire qui disparaît dans le passage de réquation (8) à l'équation (7), la différentiation (lonnei*a
ou
\dx^ dvi , dxi , dvi f 7\ dxi . , ^ , .
En vertu de l'hypothèse, les équations (7) et (10) doivent être identiques : donc, réciproquement, si l'on multiplie l'équation (7) par un certain facteur
qui ne peut dépendre, comme la fonction t;;^ elle-même^ que des quantités ^j/j^'v—T^''^'^ on rendra la proposée identique avec l'équation (9), c'est-à-dire qu'on rendra le premier membre de la proposée une différentielle exacte. Il est d'ailteurs évident que, non-seulement le facteur |a, mais tous ceux, en nombre infini, qui se trouvent compris dans la formule (it.f('^)9 f désignant une fonction quelconque, jouissent aussi de la propriété de rendre le premier membre de l'équation (7) une différentielle exacte.
240 UyjRS.VX. -rr CHAMTJUJ»* i^M
L'éqiiation proposée étant du n* ordra ^onporte •«; intégrales premières de Tordre /i— i |1c64)V wit
une autre de ces intégrales preimèrcisr.pài' la-^MÉw;^ raison que tout à Theiire 6n rend encore'lM "j^ïti^dÉtlj une différentielle exacte , en la mùltîpfiant par le] facteur
ou plus généralement par un des &cteur8,.ei| nombre û- ' fini, compris dans la formule fixf,(td^), f, -déiign^v^t oiie autre fonction arbitraire. . . -
Donc, plus généralement, si Ton désigque pftF.^^4) une fonction quelconque des deiît' quantité '^10,9 Uws les fiu^teurs compris dans la formule
ou .',.,.'.;■ , ;., .
jouissent de la propriété de rendre le premier membre de la proposée une différentielle exacte, ce premier membre devenant alors la différentielle de la fonction
Donc enfin, si Ton désigne par
les n intégrales premières de la proposée, et par ^ une fonction quelconque des quantités xj, xi^^ xi%j*»'-Vif^t^}s» facteurs propres à rendre la proposée une diffisrentielk exacte, sont compris daus la formule générale d^ d^ dxi, d^ dxi^, i»
ÉQUATIOKS DBS OBDRES SUP]iBIEt]R$, 341
