Appliquons cela à Téquatioa du second ordre

^i devient, suivant qu'on la multiplie ou qu'on la divise par 3^

équations dont les premiers membres sont respectivement les différentielles exactes des fonctions

%i=xy — a/, vi,^=~ (n)

La proposée a pour intégrales du premier ordre

et pour intégrale seconde, résultant de l'élimination de la fonction^ entre les intégrales premières,

Dans ce cas, les facteurs qui jouissent de la propriété de rendre le premier membre de la proposée une différentielle exacte^ sont exprimés par la formule

rftrf X dxii *

la composition des fonctions ri^ zi^ étant donnée par les équations (ii)) et la fonction ^ restant arbitraire.

S 3. Des équations diffërentielles iiuëaireSy d'un ordre quelconque.

455. On nomme équation différentielle linéaire celle qui ne renferme, ni les puissances supérieures à la première, ni les produits de la fonction et de ses coefficients différentiels des divers ordres, et qui est par conséquent de la forme

y{n)^ Pj(«-i) + Qj(-") + . . . + Ur = V, (fl )

T. II. l6

242 LIVRE VI. — CHAPITRE lî.

P,Qv.-U,V désignant des fonctions de la seule variable indépendante x.En général , si l'équation

est celle qui exprime rigoureusement la loi d'un^phénomène; et que de plus, par la nature de ce phénomène, les quantités J*,^*^^*"?..../^"^ soient assujetties à rester toujours très-petites, de façon qu'on puisse négliger les produits et les puissances supérieures de ces quantités, la fonction ^ se transforme en une fonction linéaire des mêmes quantités variables; et l'équation du problème devient une équation différentielle linéaire. Lia théorie de l'intégration des équations de cette espèce doit donc attirer notre attention, non-seulement à cause des faits d'analyse très-remarquables qui s'y rattachent, mais aussi à cause de l'importance des applications.

Supposons d'abord que le second membre de (a) soit nul y ou qu'on ait à intégrer l'équation

j(«) 4- Pj("- 0 4- Q j(«-») + . . . 4- Uy = o. (i)

La propriété caractéristique d'une équation de cette forme consiste en ce que, si l'on a diverses valeurs particulières de^ en fonction de x qui y satisfassent, valeurs que nous désignerons par^„j*a,^3, etc., la somme de ces valeurs, multipliées respectivement par des constantes arbitraires Ci,Ca,G3, etc., ou