C.7, -f-C,7,+ 6373+ etc

y satisfait pareillement. La forme du calcul sur lequel cette proposition repose, résulte si évidemment de la forme même de l'équation (é), 'qu'il suffit de l'indiquer.

Il suit de là que si Ton connaît n valeurs particulières et distinctes, JK,, /"ajj^s, •• .7*1.9 propres à satisfaire

■.^.JS

iQUATIOVS DIFFERENTIELLES LnrÉMRES. 243

à, l'équation (6), celle-ci aura pour intégrale générale .

car cette valeur de j- satisfait à la proposée, et à cause des n constantes arbitraires et distinctes qu'elle renferme, elle a toute la généralité qu'une telle intégrale comporte.

456. Or, il est un cas où l'on trouve facilement n valeurs particulières de y propres à satisfaire à Téquation (b) : c'est celui où tous les coefficients P,Q,....U se réduisent à des constantes; car si l'on pose y^=er^^ on auA, quelque soit i^y^^=,m!e^\ de sorte que cette valeur de j-^ substituée dans l'équation {b\ donnera pour résultat

^m" + Pm"-» + Q/n""~* + . . . + U)=o;

et dès lors, il est visible que la ïonctxon j^=ier* satisfait à l'équation {b\ pourvu que la valeur assignée au nombre m soit l'une des racines de l'équation numérique

iii?'4-Piii*-'4-Q/»""* + .. .-4-U=o. {m)

Donc, si l'on désigne par /72i,/7i2,/723, /72„les n racines

de cette équation, et par C, ,€,,€3,... . C» des constantes arbitraires, l'équation [b) a pour intégrale générale

7=zzC,e^«'-f-C,'»>' + C3'»»'-f-...-4-C„e^n*. {c)

457. Avant d'aller plus loin, il est bon de donnera comprendre pourquoi le cas que nous traitons en ce moment, cas en apparence si particulier, a néanmoins assez d'importance dans les applications pour mériter un examen spécial.

D'abord il est clair que ce cas comprend celui où le second membre de l'équation {b\ au lieu d'être zéro, se-

244 LtVBE VI. — CHAPITRE II.

• rait un nombre Y quelconque; car il suffirait de posy

^izuT)-]- ==, pour réduire à zéro le second membre de la

transformée en t).

Remarquons ensuite que dans la plupart des applications de l'analyse à la physique le temps est la variable indépendante désignée ici par x^ et que cette variable n'entre pas, pour l'ordinaire, autrement que par sesdifféreutielles, dans les équations des problèmes. Si, par exemple, il s'agit d'une question de mécanique, les forces qui sollicitent un système matériel ne varieront communément qu'avec les distances respectives des parties du système : elles seront des fonctions explicites de ces distances à une époque quelconque, et ne dépendront pas explicitement du temps écoulé depuis l'instant pris pour origine.

458. Lorsque toutes les racines de l'équation (m) sont réelles et inégales, on vérifie aisément que les constantes arbitraires Gj , C, , C3 , . . . C„ peuvent toujours être numériquement déterminées au moyen des valeurs initiales

7o,yo,7"o,...7o("-'"^, {0)

correspondant à x=:o. Soit, par exemple, /i=:3, on aura

y\=m\C,+m\C,+mlG^', d'où l'on tire

EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINEAIRES. 245

La symétrie de ces formules indique suffisamment la loi des expressions qu'on obtiendrait , si l'on avait un plus grand nombre de comtantes arbitraires à déterminer, au moyen des valeurs initiales de la fonction et de ses dérivées.

Si l'on sait, par la nature de la question, que la grandeur jr ne peut pas croître indéfiniment avec x^ il faut nécessairement supposer nulles les constantes arbitraires Q qui correspondent à des racines positives nii de l'équation {pfi). Alors les valeurs initiales (o) ne peuvent * plus être données arbitrairement; mais il faut qu'il y ait entre elles autant d'équations de condition que l'équa^ tioQ {rri) admet de racines positives. On doit remarquer ce mode de réduction du nombre des constantes arbitraires, d'après des considérations tirées de la forme des fonctions, indépendamment des valeurs numériques de leurs paramètres. Des considérations du même genre reviennent fréquemment dans les applications de l'analyse aux questions physiques.

459. Si l'équation {ni) avait des racines imaginaires, les exponentielles devenues imaginaires se conjugueraient deux à deux et se transformeraient en sinus et cosinus d'arcs réels. Ainsi, azfcp^/— i désignant deux racines imaginaires conjuguées de l'équation (/ti), les termes exponentiels que ces racines amènent dans l'intégrale générale, savoir

c , d^*+pv^~) + c , e-c*- p^~V

se changent en

=<î«[(C, + C,)cosp^ -4- (C. — C.)»/Z:7.sin pj?], '^ finalement prennent la forme

^(ML cos px -f- N sin ^x\

quand on ëtablil entre les constantes indéterminées Ci,C2,M,N les deux relations

On peut encore simplifier cette expression en posant

M =X cos 8, N = — X sin e, ce qui donne

ei^{M cos Pa: H- N sin ^) «= V* cos(piar + «) :

alors Xy e sont les deux constantes arbitraires.

Si la partie rëelle a du couple de racines imaginaires que nous considérons, est négative, le facteur é" décroit indéfiniment pour des valeurs croissantes de Xj taïkKs que le facteur X cos (^x -i- e) oscille périodiquement entre les valeurs — X et -^X: la fonction donnée par le produit de ces deux facteurs éprouve donc des oscillations périodiques dont l'amplitude va en décroissant très-ra* pidement pour des valeurs croissantes de x. Au contraire» pour a positif, l'amplitude des oscillations de la fonctiom irait en croissant avec une grande rapidité et au delk de toute limite^ ce qui est manifestement incompatible? avec la loi de tout phénomène naturel. Un cas semblable ne saurait avoir qu'une existence purement abstraite.

Lorsque l'équation (m) n'a que des racines imaginaires dont les parties réelles s'évanouissent, la valeur complète de^est une suite de termes de la forme

Xcos(p^ + e). (i)}

Imaginons que j- désigne la quantité variable avec x, dont une grandeur s'écarte en plus ou en moins de sa valeur moyenne y), ou ce que les astronomes appellent plus brièvement Vinégalilé de n : cette inégalité sera la somme de plusieurs inégalités périodiques, exprimées chacune par un terme de la forme (yi), La constante "k

• ÉQl]ATIONS DIFFIÉRENTIELLES LINÉAIRES. 247

se nomme le coefficient de l'inégaiitë; elle en dëtermine XampUtude^ et dépend, ainsi que la constante e, des valeurs initiales de la fonction et de ses dérivées. Le nombre P détermine Véteridue de la période, puisque Tinégalité reprend les mêmes valeurs pour des valeurs de x dont la

différence est -^ : la grandeur de P est donnée par Fé-

quation différentielle, indépendamment des valeurs initiales de la fonction et de ses dérivées. Toutes ces considérations sont d'une application fréquente, à l'occasion des phénomènes soumis à la loi de périodicité.

460. Lorsque quelques-unes des racines de l'équation (m) deviennent égales entre elles, l'analyse précédente se trouve en défaut. Soit, par exemple, mi=m^ : les termes C|e"**-|-C,^** se confondront en un seul (Ci-|-C,)^'"»', et le coefficient Ci-f-C, n'équivaudra qu'à une seule constante arbitraire [i64], en sorte que l'intégrale (f?) n'aura plus la généralité requise. Dans ce cas, si nous posons

la substitution de cette valeur dans l'équation {b) donnera

Le facteur

s'évanouit, puisque /w, est racine de l'équation (/w); et le polyuôme qui multiplie Bx^»' s'évanouit aussi, puisque, par hypothèse, /7î, étant une racine double de l'équation. {m\ est aussi une racine de l'équation dérivée

DonCy si Ton continue de désigner par m^y.jn^ les racines simples de Tëquation (rn), et si l'on pose

on satisfera à l'équation (b) dont on aura ainsi l'intégrale générale, à cause que les constantes A<,B,,C3,.**Q9 <^i^ nombre /z, sont irréductibles entre elles.

On Irouverait de même que, dans le cas de trois racines égales m^^m^^mi^ il faut remplacer te tri-

nôme

C,ô"».' + Ç»^»' H- Cae"»' {i3}

par

et ainsi de suite.

La forme que prend l'intégrale générale dans le cas oii l'équation {m) a des racines égales, résulte encore du calcul suivant.

Au lieu de poser immédiatement mf=m^^ faisons d'abord /w,=/w,-j-e, ce qui donnera

r^ -, IX e*a?* ^'x^ .,

= «"'• [C. -f- C,(i + — H H 5 + etc.)],

en substituant à e"* la série toujours convergente qui en est le développement. Il est permis de mettre cette expression sous une autre forme, en changeant de constantes arhitraii*es, et en posant pour cela C,-|-Cj=À„ C,6=B,. De cette manière, l'expression ci-dessus devient

ot si Ton fait maintenant v=^o^ elle se réduit au second membre de Téquation (^12).

Tit* trinôme (i3^ ayant été remplacé par

r-''.A,-hB..r^-hC,tf-5',

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINÉAIRES. 249

ins le cas où les deux racines m^^ m^ deviennent égales, 1 pourra faire /7i3=m,-|-8, ce qui change l'expression récédente en

=«"''[A, + B,ar+C3(H 1 1 ^ + etc.)].

.îen n empêche de changer de constantes en posant

u moyen de quoi le second membre de Téquation préîdente devient

^x*rD. + E,j?+F,ar*-hF/^ + etc.^l ,

: se réduit à

trsqu'on fait 8=0. La même méthode s'applique évi- Bmment au cas où le nombre des racines égales devient uelconque. Il est bon de connaître cette méthode que s analystes ont souvent employée dans des cas ana- »gues et plus compliqués; bien qu'elle soit sujette à uelques difficultés qui disparaissent lorsqu'on justifie irectement, comme nous l'avons fait d'abord, la forme ttribuée à l'intégrale générale, dans l'hypothèse où équation {m) acquiert des racines égales. 461. L'équation (ti) peut rarement s'intégrer lorsque !s coefficients sont des fonctions de x. Prenons pour SLemple l'équation du second ordre

i loQ pose

m devient

Pt lorsque cette équation du premier ordre en z et a;

peut s'intégrer^ par la séparatioa des variables ou autrement, on a par les quadratures la valeur de^ en x.

En général , si Ton substitue dans Téquation [b) la valeur de^ en ^ donnée par l'équation (d)^ la transformée en z et a: s'abaisse à l'ordre /i — limais en cessant d'être linéaire.

On intègre les équations linéaires de la forme {a -h *^)'»7(»)+ P(û H- 3a?)«-«j(»-0 + Q(a -f &r)»-»/<«->). ..

où P,Q, T,U désignent encore des coefficients constants, en posant jr=:(a'^ba:)'', ce qui donne, pour déterminer /w, l'équation algébrique du degré n

Q / N / ON Tiw il

en sorte que, si l'on désigne par m^,m^^ m. ies/t racines de cette équation, et par C„ C,, • . . . C» des constantes arbitraires, l'équation (e) a pour intégrale générale

Cette intégrale est donc transcendante, à moins que l'équation en m n'ait toutes ses racines rationnelles.

462. Si l'on connaissait une valeur particulière /i, propre à satisfaire à l'équation (é), on pourrait abaisser d'une unité l'ordre de l'équation (é) et même l'oixlre de l'équation (a). Pour cela il suffirait de faire

y=yjzdx, (/)

z désignant, comme ci-dessus, une nouvelle variable, fonction de x. Remarquons à cet effet que , si l'on designe par u^v des fonctions quelconques d'une même variable indépendante, on a :

I^UATIOirS DIFFÉREIVTIELLES LINÉAIRES. 251

d, Uif = udv -f- ifdu y

d^.uvz= ud^u -f- 2dudi^ + ifd^u^

Jb ,uif =i ud'^v + - .dud^-^v -+--^ 'd*ud*''*tf + . . .

... + - .difit'^^u+d'u,

în conséquence de ces formules^ la substitution de la

aleur de j- dans l'équation (a) donne

)r|le coefficient de/zdx dans cette équation est nul par

lypothèse, puisque^, est une intégrale particulière de

'équation (b). Si Ton divise cette équation par^, qui est

me fonction connue de Xj on la ramènera donc à la

orme

^,Q„. . .T„ désignant comme P,Q,. . . .T, des fonctions onnues de jr, et l'ordre de l'équation (a) se trouvera baissé d'une unité.

Dans le cas où il s'agit d'intégrer, non pas l'équation a)j mais l'équation (6) , la dernière équation obtenue st remplacée par

Dans cette hypothèse, si l'on connaissait une seconde râleur particulière^,, propre à vérifier l'équation (é), l'une des valeurs de z tirées de l'équation (é,) devrait ^rérifier l'équation (f), après qu'on y aurait remplacé/ par/,. On aurait donc, en désignant par 2, cette valeur particulière de z.

y^—yjz^dx, ou z^= J^ •

Donc, si Ton connaît deux intégrales particulières de l'équation {b\ on connaîtra par cela même une intégrale particulière de l'équation [b^ ; et par suite l'ordre de l'équation [b^ s'abaissera d'une unité au moyen delà transformation z=^z^fudx. Comme ce raisonnement peut être continué de proche en proche, il s'ensuit que si Ton connaîl m intégrales particulières de l'équation (é), l'intégration générale de cette équation, et même celle de l'équation (a), seront ramenées à dépendre de l'intégration d'une équation différentielle de l'ordre n — m ; de façon que celle-ci étant intégrée, on aura Fintégrale générale de l'équation {a) par de simples quadratures. Ce beau théorème est dû à Lagrange; mais la démonstration donnée ci-dessus, a l'avantage, comme M.Libril'a fait voir dans un mémoire fort intéressant ('), de mettre parfaitement en lumière les analogies qui rattachent étroitement la théorie des équations algébriques à celle de l'intégration des équations différentielles linéaires.

463. Quand les coefficients P,Q, .... U de l'équation (à) sont des nombres constants, le dernier terme V étant seul fonction de x^ on connaît n intégrales particulières de l'équation (é).

ni^^m^j. . . .rrin désignant toujours les racines de l'équation {tri). L'intégration générale de l'équation {a) se trouve donc ramenée aux quadratures.

(•) Journal de mathématiques de M. Crelie, tom, X.

liQUATlOVS DIFFIÉRENTIELLËS LlN^iLIRES. 253

Soit, par exemple ^ l'équation linéaire du second >rdre

3Ù PyQ désignent des nombres constants : m^yin^ sont les

racines de l'équation numérique

wt''+P/w-f-Q = o, {g)

et l'on a

Posons

y=iy^zdx^=.e^^*fzdx :

la transformée en z sera

i'+ (amj-i- P)^ = Vc-'»i', ou ^- (w,- /Wj)z== Vtf-"'i', I cause de P= — (^i-f-'^»)' Faisons en outre

=^z^fudx=i — -^-^-^ fudxz=z{m^ — m^)é^^'"^^> fudxx \ transfoiinée en u donnera

/w, — /w, )e là on tire

u bien^ en intégrant par parties,

jes deux intégrales indéfinies sont censées renfermer hacune une constante arbitraire.

Lorsque m^^m^ sont deux racines imaginaires conjuuées, de la forme a±p|/ — i, l'expression précédente échange en

= — (sin ^f^e"^ cos ^x.dx — cos ^/Ver^ûn ^x . dx) .

'Ofin , si Ton avait m^==mi , le second membre de l'éuation {h) se présenterait sous la forme ^ ; mais, en pre-

254 LIVEE VI. GH^UPITRIS II.

liant les dérivées du numérateur et du dénominateur par rapport au paramètre m^^ et en posant ensuite h m^=m^^ on trouverait pour ce cas

464. Nous ne quitterons pas ce sujet sans £iire connaître la méthode employée communément pour démontrer le théorème du n** Ifii.

Supposons d'abord que Ton connaisse n intégrales particulières de l'équation (é), de manière qu'on ait pour l'intégrale générale de cette équation

nous disons que cette valeur de y peut encore être prise pour l'intégrale générale de l'équation (a), pourvu que l'on considère les facteurs C,,C,y. . . .€«, non plus comme des constantes, mais comme des fonctions de Xy qu'il s'agit de déterminer convenablement. Dans cette hypothèse en effet, l'on a

+7xC\ +7,C', +73C3 4- . . :+/„C'„

(G/ désignant la dérivée de Q par rapport à x\ et si l'on assujettit les fonctions Q à vérifier l'équation

il reste

r'=cy,+cy,+C3/3-f-...+c„/„,

comme dans le cas où les facteurs Q sont des constantes.

De cette dernière équation Ton tire

ou simplement

/*'=C.7%-hC./\ + C3/'34-...+ C^"„,

lÉQUATlOlfS DIFFléREITTI ELLES LIVI^A;

quand on assujettit les dérivées C\ à vérifiei: de condition

y,C'.+y,C\-f-/3C'3 + ...4-7Xn=o.

En continuant de la sorte, on trouve que la valeur dt^ donnée par Téquation (i\ et qui par hypothèse vérifie Féquation (é), satisfait aussi à l'équation (a), pourvu que les dérivées C^ vérifient le système des équations de condition

Or, de ces équations en nombre n on tire la valeur de liaque inconnue C^ égale à une certaine fonction xii^, t par conséquent une simple quadrature donne

C, =/nSia:dx + c, ,

, désignant une nouvelle constante arbitraire. On obient donc de cette manière, par de simples quadratures, Intégrale générale de Téquatiou (a), ave^ les n cousantes arbitraires qu'elle comporte.

Supposons maintenant que l'on ne connaisse que i — I intégrales particulières de l'équation (é) ; et afin le simplifier l'exposition, prenons pour types des équaions (a) et (è) les équations du 4* ordre

7'^+Py-hQ7" + T/+U7=V, (i4)

^0/29/3 désignant trois fonctions connues de x qui satisfont à la dernière équation. Si l'on^veut que la fonction

7=C,rx-l-C,j,-hC373 (i5)

2éi6 LIVaE VI, GHàPITRB II»

satisfasse à l'équation (14)9 01^ P^ut encore établir entre

' les facteurs inconnus C, , C, , C3 les deux équations de

condition

/.c'.+y.Ca+/3Cs=oj| ^"^

au moyen de quoi les valeurs àey^y^ conservent la même forme que si les facteurs Cx,C,,C3 étaient constants; mais les valeurs dey",^"^ contiennent les premières et les secondes dérivées de ces mêmes facteurs ; et pour que la fonction (i5) satisfasse à réquation(i4)f il Êiut encore assujettir les facteurs CiyC^^Ca à vérifier une troisième équation

c.(2y".+py'.)+c'.(2/\+py'.)+x',(2/"3+p/3) +G\y\+c\y\+a\y\=y. (17)

On tirera des équations (i6) et de leurs différentielles les valeurs de C\,G\f:!\,C\ en fonction de C'.,C"x; et on les substituera dans l'équation ( i <^) qui deviendra une équation du second ordre par rapport à CtjXj ou du premier ordre par rapport à C'x,.r. Celle-ci étant intégrée^ on aura la valeur de C, en x^ et par suite celles de Ca^Ca en x au moyen de simples quadratures. Les quatre intégrations ou quadratures auront amené quatre constantes arbitraires, de sorte que l'intégrale (i 5) jouira de toute la généralité requise.

En suivant absolument la même marche, on prouverait généralement que l'intégration de l'équation (a) ne dépend que de l'intégration d'une équation de l'ordre n — rrij et de m quadratures subséquentes, lorsqu'on connaît m intégrales particulières de l'équation (6).

Air ci atiolîl

DE l'iUT^GRATION des lÉQUATIONS DIFFERENTIELLES PAR LES SÉRIES ET PAR LES INTEGRALES DÉ- FINIES.

465. Ou peut en géoëral, à la faveur du théorème de Maclaurin, développer une fonction en série ordonnée suivant les puissances entières de la variable indépendante, lorsqu'on a entre la variable indépendante et la fonction une équation différentielle d'un ordre quelconque. En effet, soit

cette équation différentielle : on en déduira, par de nou. velles différentiations, les valeurs de^"+'),^"+*), et en général celles des dérivées d'un ordre quelconque supérieur à 71 y en fonction de x^y^y\y\. . . .^""'^ D'un autre côté, la formule de Maclaurin donne

ro+y.-H-r

ar"

0tc.

jrt,^jr\j etc., représentant les valeurs de^, y\ etc., pour X — o. Si donc l'on fait x=Oyy=ij^jy=/'o^ etc., dans les expressions de 7^"^^^'*"'"^ etc., déduites de l'équation différentielle proposée et de ses dérivées successives, on déterminera tous les coefficients de la série qui précède, en fonction des /t premiers coeffîcienisj^oj7''o»« • •Jo"'"^*

!58 LIVRE Vî. CHAPITRE III.

Ceux-ci resteront arbitraires et donneront à l'expression de y toute la généralité qu'elle comporte. Une telle série peut servir à calculer les valeurs numériques de y pour toutes les valeurs de x qui rendent la série convergente.

Prenons pour exemple l'équation yz=L — .(^-j-x^) : le calcul indiqué donnera

*jc oc 00

/=/o — 7o 7 +yo-——y.

L'équation proposée est de celles qui peuvent s'intégrer en termes finis; par conséquent la série précédente est de celles qui peuvent être sommées ; et en effet, l'on met l'expression de^ sous la forme

et cette valeur de j se confond avec celle que donne l'équation (4) du n*' 44^? quand on remplace la constante arbitraire j*o — 6 par la constante C, pareillement arbitraire.

Considérons encore l'équation

on aura pour le développement en série

r=jo+/o-— jo-— -5 — 27'

-^ 47o — ^nrr^ "*" ^^/o — 5 h etc. (2)

466. Si la valeur x=^o rendait infinis les coefficients différentiels, à partir d'un ordre quelconque^ il faudrait

tBITlÉGRATlON PAR LES SÉRIES. 259

t>rclonner la série, non plus suivant les puissances de^t, mais suivant les puissances de x — a, a étant une valeur de X qui ne rend point les coefficients différentiels infinis. En conséquence on aurait

, X — a j, (x — aV „, (x — aY ,^.

J=y*+yu \-y'a -^+/"a^ ^+etC., (3)

jr«,jr'a»/"aï ^tc, désignant les valeurs àe jr^y^y^ etc., pour x=a.

Soit, par exemple,

y "=• — [--\'x\'i ou xf + y + x"^ =.o

l'équation proposée : la valeur x=.o rend^'o infini, à moins que j^o ne s'évanouisse. Dès lors, ce cas particulier excepté, la série de Maclaurin ne peut pas être employée sous la forme ordinaire. Si on lui fait subir la transformation indiquée, on trouve

«• i.a or 1.2.3 ^ '

a désignant une valeur quelconque de J7, autre que zéro.

Tja difTérentiation de l'équation proposée donne

i?/'-h2y+2J?t==o, a:y"+3y+2=o, a?7'^+4r'"=o, etc.;

d'où l'on conclut , dans l'hypothèse oîi l'on aurait à la fois x-=.o^y=iOy (aucune des fonctions dérivées ne devenant infinie),

/,=o, /'. = -7, /"•=o, j^r=o, etc. ËQ conséquence la proposée a pour intégrale particulière (correspondant à l'hypothèse ^o=o)jr= — \x'^. En effet , l'on a trouvé [44^] pour l'intégrale en termes finis

et cette valeur de jj qui ne peut se développer suivant les puissances de x^ tant que la constante C n'est pas nulle, reproduit la série (4) lorsqu'on la développe suivant les puissances entières de x — a^ pourvu qu'on pose, ainsi que cela est permis, C=a^«-}-ia^.