Soit encore l'équation
y" = — -» ou xy^ + y"=.o, (5)
La valeur a:=o rend^"o infini, à moins que^^ ne sevanouisse. C'est donc le cas d'employer la série (3), qui devient
r=ra+yu --^ ^ -^^ — Î-— -^ 4- + etc., (6
et qui dépend des deux constantes arbitraires ^.,^'^
Les dérivées successives de l'équation proposée sont
xy"+y'—y=zo, ^j-+2/"+7"=o,
xy^ + 3j"^ + y* = o , etc. ;
ce qui donne, dans l'hypothèse où la valeur x=io annulerait^ et ne rendrait infinie aucune des dérivées^,/",
y, etc.,
v» = r' y'" -— -^ * t r" — ■ ^ " ftp
et par suite
/ / I ^' \ X^ I JC^ , , ,
Mais comme ce développement ne dépend que de la
constante arbitraires'^, il ne représente qu'une intégrale
particulière de l'équation proposée, laquelle intégrale
correspond à l'hypothèse ^0=0.
Représentons par /j la fonction de x que détermine
la série toujours convergente
INTliGRATION PAR LES SÉRIES. 261
II. a I. ai. 2.0 i.a.oi.a^o.4 m peut exprimer Tintëgrale générale de l'équation 5), qui est linéaire, par^=Cj^,, pourvu que Ton x>iisidère C., non plus comme une constante, mais x>mme une fonction de x^ qu'il faut déterminer en ippliquant le procédé du n"" 464- On obtient ainsi l'é- ]uation
d'où, par deux intégrations successives,
c^o, désignant deux constantes arbitraires. Ainsi Tintégrale générale de l'équation (5) a pour expression, outre la série (6),
r=r.(^. y^+c.j, oubien jr=e,jr,(j—+c,y
468. La fonction déterminée par une équation différentielle peut souvent se développer en série procédant suivant les puissances négatives ou fractionnaires de la variable indépendante. Quand de tels développements sont possibles, on les obtient par la méthode des coefficients indéterminés, dont l'usage est presque toujours préférable à l'emploi direct de la série de Maclaurin, lors même que le développement est susceptible de procéder suivant les puissances entières et positives de la variable indépendante, ainsi que le montrera l'exemple suivant.
Prenons l'équation
/'= kx^Xy (8)
qui comprend comme cas particuliers les équations (f )
262 ' LIVHE VI. CHAPITRE 111.
et (5) : il s'agit de savoir si l'on peut en représenter l'intégrale par la série
7 = A^ 4- A ,;!:•' + A ,ar«» + As«a -f- etc., éii déterminant convenablement les coefficients A, et les exposants a, qui peuvent être positifs ou négatife, entiers ou fractionnaires.
La substitution de cette valeur de y dans Tëquation proposée donne
Aa(a-i>F-'*+A,a,(a,-i)r«i-^+A,a,(a.-i)r*»-*4-etc. =Mjr»+'» -h *A ,ar»'+"-h A-A,a;«*+'*+ etc. On ne peut rendre cette équation identique qu'en
posant
a,= a + i(/i+2), A,a/(ai — i)=^A/.,, au moyen de quoi tous les exposants a, sont numériquement déterminés, et tous les coefficients A, s'expriment en fonction de A, qui tient lieu de constante arbitraire.
On satisfait à l'équation (9) de deux manières^en prenant a=o et a=i. Aces deux solutions correspondent deux séries distinctes, chacune renfermant un coefficient arbitraire , et qui toutes deux vérifient l'équation (8) dont elles sont des intégrales particulières. La somme des deux séries donne donc l'intégrale générale [455]; et si l'on désigne par Co,C, les valeurs du coefficient A qui correspondent respectivement à a = o, a=:j , on trouve sans difficulté, pour l'expression en série de l'intégrale complète,
mT^GRATlON PAR LKS SÉRIES. 263
Toutes les fois que l'exposant n est un nombre entier positif, cette série procède suivant les puissances entières et positives de x, et coïncide nécessairement avec celle que Ton déduirait de la formule de Maclaurtn. Co et C,, représentent alors y^ et y^. Si l'on fait en particulier k==. — I, 71=1, on retombe sur la série (a); et cette dernière manière de l'obtenir a l'avantage de mettre en évidence la loi de formation des coefficients successifs.
Lorsqu'il reste moins de coefficients indéterminés dans la série qu'il n'y a d'unités dans l'exposant de Tordre de l'équation difTérentielle, la série ne représente qu'une intégrale particulière : c'est la preuve qu'on ne peut développer la fonction suivant une série de cette forme, qu'en assujettissant implicitement les constantes arbitraires à des conditions qui en réduisent le nombre et qui restreignent la généralité de l'équation difTérentielle proposée.
Si, par exemple, on supposait dans l'équation (8) k==^ — i,/î= — I, ce qui la ferait coïncider avec l'équation (5)^ les différents termes de la série qui multiplie Co deviendraient infinis à partir du second : ainsi cette série doit être supprimée, comme cessant de représenter une intégrale particulière de l'équation (8); bien entendu que la série qui multiplie Ci coïncide alors avec celle qui multiplie ^'o dans l'équation (7). ^
469. Conformément à la remarque du n° 461, l'équation (8) s'abaisse au premier ordre, mais en cessant d'être linéaire, si l'on îdî\tj=eJ'^'y ce qui donne pour la tiansformée en z
dz 1
-y -\- z^ =zkaf .
dx
Réciproquement, étant donnée l'équation du premier
ordre
y + a7'=*^, (lo)
(qui porte le nom de Riccati, et qui a été l'objet de beaucoup de recherches), on en ramènera l'intégration à celle de l'équation (8), qui est plus siinple à cause de la forme binomiale et linéaire, en posant
i du
au dx^
d'où, pour la transformée en u,
d^u dx^ "'^''* »
équation identique avec (8), lorsqu'on remplace u par/, et ab par A*.
On ramène encore l'équation (8) à la forme
/'+f/=Ar, (")
en changeant de variable indépendante et en posant
x^ =zt; car on trouve amsi
rf'r n I dy kr , .
et pour faire coïncider les équations (i i) et (la), il suffit de changer ^ en x et de prendre
Enfin réquation
rentre encore dans les équations (8j, (jo) et (i i), puisqu'il suffit de faire ^':=zj;'"w, pour la changer en
rf"M 2m du ,
dx* X dx Lies équations (i i) et (i3) se présentent dans des problèmes de physique mathématique, et sous ce rapport îlles offrent plus d'intérêt que les équations (8) et (lo) lont elles sont des transformées.
470. Si nous nous étions proposé d'appliquer direc- :ement à Féquation (i3) la méthode suivie pour le déireloppement en série de l'intégrale de l'équation (8), nous aurions eu à rendre identique l'équation ^
A[a(a — i) — m{m — i)]^- * -f- A,[a,(ai— i) — m{m — i)]a:r»>~* + Aa[oc,(a,— i) — m(/w— i)]a:*»-*-f- etc. = hkaf^ -h hk^ûd^^ + hk^x** + etc. ;
ce qui entraine les conditions
flt(a — i) — m(m — i)z=o, (i4)
A,{a/(ai — i) — m(m — i)] = hki^t* La troisième formule devient, quand on remplace a,* par sa valeur tirée de la seconde,
Ai[a(a — i)-|-ai(2i + 2a — i) — m(/w— i)] = AA<x, ou plus simplement, en vertu de la première condition,
21(21+ 2a — i)A,== AA,«x. (i5)
Les racines de l'équation (i4) sont a=/n, a= i — m: on trouve en conséquence pour la valeur de l'intégrale complète, exprimée en séries,
