C^'-'"[i+-75 rH 775 \7k H-etc.J
* 471. liCs séries que l'on vient d'obtenir ont cela de remarquable qu'elles peuvent être sommées et remplacées
par des intégrales définies de la nature de celles que nous avons considérées dans les trois derniers chapitres du livre précédent. EfTectivement, quand on fait daos la formule (v) du n® îog, j:=w, (i. = aa — i,v=a/, il
vient
^ . . , cos*' (ù sin** w
/ cos*' w sin**" ' (ùatù = — :
•^ 21 + aa — I
ycos"-* ct) sîn ••"' iùdfù ;
^i-^nct — I et si l'on prend o, ir pour limites des intégrales, le terme hors du signey* s'évanouit toutes les fois que a est une quantité réelle positive , ou une quantité imaginaire à partie réelle positive, en sorte qu'on a
cos" (ù sin*»" ' (ùd<ù 1
= — : / cos**""* w sin**~ * (ùdkù, (16)
2Z+2« ijo
En vertu de cette dernière relation, l'équation (i5) se trouve satisfaite, si l'on pose
Ai = 5 y—, r — . I cos*' (0 sin**"^ corfft) :
et par suite on peut mettre l'intégrale obtenue sous la forme
r=Co^ / (i-\ cos'(o-|- -= — ;r--cos*(o+etc.)sin*'""'wrfw
-|-C,a7'~'"/ (i-\ cos'coH =— ,cos*a)-f-ete.)sin'"*"(«)rf(«),
en attribuant successivement à aies valeurs m et i — w,
qui sont les racines de l'équation (î4)-
Maintenant on a
hx^ , Â^:r^ , AV ,
1 H cos' w -\ 5— cos^ to H o / K /? CQS ^ "^ ^^^'
^=: COsfy^~ . ^Tl/Â. (OS ai)= a e"""'^' cos«| ^ ^-xV/A.cos« .
ionc
Cette expression peut encore se simplifier; car on a, à cause du choix des limites et de la nature des fonctions sin a>, cos (a.
donc
/ #-i»*^'»»*'sin*W(i)=/ ^ «*»» " sin* wrfd) ; / = Coafj e*^^' «»• - sin »'"- ' Wa>
^i^'"""/ ''^^**^''sin'-"»wrfw. (17)
L'équation (16) ne subsiste que sous la condition que a désigne une quantité réelle positive, ou une quantité imaginaire à partie réelle positive. Donc, pour ne considérer que le cas de la réalité des valeurs, l'équation ( 1 7) Qe subsiste que sous la condition que m et 1 — m désignent des nombres positifs, ou que la quantité m tombe entre les limites o, 1. Moyennant cette restriction, l'équation (17) donnera l'intégrale complète de l'équation (.3), exprimée par des intégrales définies.
Aux limites m=Ojm=ij l'équation (î3) se réduit à y^zzzzhjr^ et l'on sait que datis ce cas elle a pour intégrale complète
Quand on fait dans la formule (17) m=^^ elle donne
J ^ et comme les deux constantes arbitraires C01C, se con-
Lirmx ▼!• — CHâPmB m.
fondent en une seule, on n'a plus qu'une intégrale {m* ticuliàre. Cependant, même dans ce cas, on obtient rutégrale complète par un artifice de calcul d^à employé [460], Faisons dans le terme qui multiplie Go^in=; et dans celui qui multiplie Q, /72=4-|-'s: il Tiendra
+ Q ^xf "tf*^- **• - (:r sin» «)-*ifcû. (18)
Or on a
se* «'va
tt-»=i— -log 11 + — (logtt)' — ^-^(l<^*/+«^î
de sorte que si l'on développe l'expression (18) suivant les puissances de e, ^ qu'on pose G^-f^ï'^^» Ci6= — B, il viendra
+Bi/i rV*^-«^* log(jr sin* «>fcÉ -»- sBX,
X désignant une quantité qui conserve une valeur finie quand e s'évanouit. Donc, si l'on pose maintenant on aura
+ B l/î y e*^^' ~* ••log (a? sîn" a>)flbi,
pour l'intégrale complète de l'équation (i3)qui devient dans ce cas
* 472. Si m a une valeur positive plus grande que l'unité, le terme affecté du coefficient d doit être supprimé dans l'équation (17); et au contraire on oe
iirriGRATioir par les séries. 269
doit conserver que ce terme quand m a une valeur négative. Dans l'un et l'autre cas on n'obtient donc immédiatement y sous forme finie, qu*une intégrale particulière de l'équation (i 3). Soit^, cette intégrale particulière dans laquelle on aura fait, pour plus de simplicité, la constante arbitraire égale à l'unité : on trouvera, par un calcul semblable à celui du n° 467, que l'intégrale générale est
Si l'on pose cos c«)=2I, on mettra l'équation (17) sous la forme
l'équation (i3) aura pour intégrales particulières, dans le cas de /w > î,
j=C^/j^V^^'i(i— C)'"~'<, (ao)
et dans le cas de m < o,
j=C,a;'"'"| "*'V^*-'î(i— j;»)-'»rfÇ. (21)
Il est dair, d'après le u^ 3i3, que quand m désigne un nombre entier positif, l'intégration définie indiquée dans la formule (ao) s'effectue, et qu'il en est de même de l'intégration indiquée dans la formule (a 1)9 lorsque m désigne un nombre entier négatif. Donc, toutes les fois que m désigne un nombre entier, positif ou négatif, on a sous forme finie, et dégagée du signe f^ une intégrale particulière de l'équation (i3); et d'après la formule rg), la détermination de l'intégrale générale de cette néme équation se trouve ramenée aux quadratures.
270 LIYRK VI. CHA.PITRB IIK
^473. Rappelons maiatenant que l'équation de
Riccati
y -\- ay^ z=ibaf (lo)
se change lorsque Ton pose
\ du , i
en
dx'' équation qui devient à son tour
é^u 2/n du
ji=kux^y
dt^ ^ t dt ' !
et enfin j
quand on pose
Soit m=^'àzi^ ; désignant un nombre entier positif: on tirera de la seconde des équations précédentes
/2=-=ii. ^ (23)
2iZfZ I
L'intégrale générale de l'équation (22) se ramène aux quadratures, toutes les fois que m est un nombre entier positif: donc l'intégrale générale de l'équation de Riccati est aussi ramenée aux quadratures, pour toutes les valeurs de n comprises dans la formule (aS); ce qu'on trouverait également en cherchant dans quels cas l'équation de Riccati se prête à la séparation des variables.
