Soit
une équation différentielle du premier ordre, dont on a Fintégrale complète sous la forme
a désignant la constante arbitraire introduite par Tin*
tégration : d'après ce qu'on a déjà vu [liv. IV, chap. II],
l'équation
résultant de l'élimination de a entre l'intégrale (a) et
l'une des équations
dF dF , /x
satisfait encore à l'équation (/*) dont elle est une intégrale singulière; à moins qu'elle ne se confonde avec une intégrale particulière, la valeur de a tirée de l'une des équations (a') se réduisant à une constante, ou à une fonction de x^j' qui elle-même se réduit à une constante en vertu de l'équation (9). On sait de plus, que l'équation (?) appartient à une ligne qui touche ou enveloppe toutes les lignes dont le système est représenté par l'in-
272 UfmW TI. GHAPTTBS Vf. ^
tégrale générale (a), tant que le paramètre a eomenre son indétermination.
De là résulte une règle très-simple pour trouver ki intégrale! singulières d'une équation difFérentidIe dn premier ordre, dont on «a préalablement dâerminé Ratégrale générale : nous disons de plus que ces intégraki singulières peuvent être assignées, sans qu'on ait besoin de connaître l'intégrale générale, et lors même qnll y aurait impossibilité d'assigner à l'intégrale générale une expression analytique sous /orme finie, ce qui est k cas le plus ordinaire.
Effectivement la ligne enveloppe qui repréaé&tè l'intégrale singulière, ne peut exister que lorsqu'il y a inte^ section entre les lignes qui représentent des intégralei particulières, et qui répondent à des valeurs distincto de la constante arbitraire. Donc, pour les valeurs dex,/ ^ relatives à ces points d'intersection , la valeur de^ es j x^, tirée dé l'équation (y), doit êtremoltiple; c*est4- j dire que celte À{uation, supposée algébrique, doit Are du second degré ou d'un degré supérieur par rapport à y, après qu'on en a fait disparaître les radicaux.
U suit de là qu'en général tous les points correspondant à des valeurs de x,jr qui ne rendent pas y ima* ginaire, sont les points d'intersection de deux lignes an moins, prises parmi celles qui représentent des intégralei particulières.
Mais, pour les points situés sur l'enveloppe ou sur la ligne de contact de toutes ces courbes, il n'y a plus d'intersection, ou du moins une intersection disparait : donc il faut que l'équation ( /*), où l'on considère^' comme l'inconnue, acquière alors des racines multiples, ce qui entraîne la condition
DES liQUATIONS lITTiGRALES SINGULIÈRES. 273
Donc réciproquement réquation (/*') détermine la relation entre xetj qui caractérise la ligne de contact ou l'intégrale singulière.
Prenons pour exemple l'équation difTérentielle
y^{x* — r') — 7:xyf'=:^x\ (i)
qui a pour intégrale générale
x^ — !iajr-=r* -\- a*^ , (a)
a désignant la constante arbitraire.
La première équation {a!) donne dans ce cas a=i — -j^ et cette valeur de a, substituée dans l'équation (2), donne pour intégrale singulière x'^-^-j^ — r*=o. Or, sans qu'on ait besoin de connaître l'intégrale (2), l'équation (/') fournit la relation
et cette valeur de^', substituée dans l'équation (i), reproduit l'intégrale singulière déduite en premier lieu de l'intégrale générale.
475. Le succès de cette méthode tient à ce que l'équation différentielle est préparée de manière à ne pas contenir de radicaux. Si au contraire elle était résolue par rapport à^', ou mise sous la forme ^'=f(.r^), la méthode se trouverait en défaut. Mais il faut remarquer que lorsqu'on différentie l'équation (/*) par rapport à / et par rapport à j;, en y considérant f comme une foDction des variables x^j^ déterminée implicitement par cette équation, on a
dy dy* dy' dx dx' dy'
Or, la valeur de^ en jc qui appartient à l'intégrale sin-
274 LIVRE Vï. CHAPITRE IV.
giilière , fait évanouir -^ : donc la même valeur doit
rendre infinis les coefficients différentiels ■— , -j-, après
qu'on y a substitué pour^' sa valeur en x^jy, tirée de réquation (/*). Par conséquent, si Ion peut déduire des équations
une valeur de ^ en x qui satisfasse aussi à l'équation L/)i cette valeur reproduira l'intégrale singulière.
Par exemple, l'équation (i), résolue par rapport à/, donne
d'où dy or' — r* v^îTfjmT* '
et ces valeurs deviennent infinies quand on pose x^-^y^ — r'=o, ce qui satisfait à l'équation (i) dont on obtient ainsi l'intégrale singulière.
476. Quand on différentie l'équation ( /), eii. y traitant ^, jr' comme des fonctions implicites de .r, il vient
d'où
Mais la valeur de j- en a: qui donne l'intégrale sin-
DES jéQUATIONS INTEGRALES SINGULIÈRES. 275
^[ulièrey annule^, et réduit Féquation (/") à
df df ,
loue cette même valeur de^ en :r met sous la forme \ la iraleur
donnée par l'équation (c) ; ce qui fournit encore un autre procédé pour trouver l'intégrale singulière. En effet, Ton posera
puis on éliminera successivement^' entre chacune de ces deux équations et la proposée (y). Si les deux équations résultantes ont un facteur commun, ce facteur donnera rintégrale si&gulière cherchée.
En opérant de cette manière sur l'équation (i), on trouve
y\x^ — r*) — xy L'élimination de^' entre la proposée et chacune des équations
J7'*+ j: = o, /(or* — r')— a7'=o,
d^nne pour résultantes où le facteur commun est en ^ ^idence,
* 477. Il est essentiel de remarquer que la considération géométrique sur laquelle on s'est fondé dans les trois n** qui précèdent, s'applique à toutes les lignes de contact des courbes données par l'intégrale générale, aussi bien à celles qui pourraient exceptionnellement représenter des intégrales particulières qu'à celles qui
276 LIVRE VI. CHAPITRE ly.
représentent des intégrales singulières. Ainsi, après qu'on aurait cherché les intégrales singulières par Tun des procédés indiqués ci-dessus, il faudrait en outre s'assurer qu'on ne peut pas les faire rentrer dans l'intégrale générale, en particularisant convenablement ht constante: vérification impossible, tant que l'intégrale générale n'est pas donnée. Le caractère distinctif des intégrales singulières doit donc se tirer de considérations analytiques, et pour cela il faut reprendre la question sous un nouveau point de vue.
Considérons une équation différentielle du premier ordre, mise sous la forme
/ — f(x,7) = o, (rf)
à laquelle satisfait l'équation ^=:X, X désignant une certaine fonction de ^, sans constante arbitraire, de sorte qu'on ait identiquement
Pour que l'équation j-zrzX coïncide avec une intégrale particulière, il faut que l'intégrale générale puisse être mise sous la forme
e désignant la constante arbitraire, et <p une fonction île a: et de e, qui ne s'évanouit ni ne devient infinie pour e=o. On aura en même temps
k désignant l'exposant de la plus haute puissance de e qui soit facteur de
et xj indiquant une fonction de .x et de £9, qui ne devient point nulle ou infinie pour 6=0. Posons
DES EQUATIONS IlfTEGllALES SH^GULIÈRES. 277
^ = 'cJo +(»p)^'tJJ.+(e9)P»'d, +etc.,
in désignant par % xii des fonctions de j;,et par o(„^j les exposants positifs formant une série croissante : puisque la fonction f est donnée, on connaîtra le déveoppement de f(j;, X-(-e<p) suivant les puissances de ef ; *t par conséquent les fonctions -dj , ainsi que lés nombres 3i, sont censés connus : il s'agit de déterminer les fonctions (fi et les exposants a, de manière à satisfaire à Fé- [juation (h) indépendamment de e.
Or, la substitution donne, après qu'on a supprimé les termes qui se détruisent en vertu de l'équation (e),
= e*(?« .+ *"»ç, + fi«*<p, + etc.)*ij. ' ^^^
+ e*+Pi(<p„ + e«i<p, -f. e«*<p, + etc.)H-?<trf, 4- etc.
Supposons ^-=1 : on aura, pour déterminer ?o9 l'équation
^=9oX<o , d'où <po —ef^^"^; il faudra poser ensuite
et en continuant ainsi, on déterminera de proche en proche toutes les quantités qui entrent dans le développement de ç, c'est-à-dire qu'on développera l'intégrale générale en série ordonnée suivant les puissances de e.
Soit A* > I : on ne pourra rendre l'équation (a) identique qu'en posant d'abord
-7— = 0, ou ^zzzconst.
Prenons, pour plus de simplicité, cette constante égale à l'unité : on fera ensuite
et en prolongeant le même calcul, on obtiendra encore successivement tous les termes du développement de Tintégrale générale.
Mais si l'on a au contraire X'< i, il sera impossible de rendre l'équation (a) identique : par conséquent la solution ^^:=X ne pourra pas résulter de l'intégrale générale moyennant la particularisation d'une constante arbitraire; ce sera donc une intégrale singulière de la proposée.
Or, d'après ce qu'on a vu sur les cas de défaut de la série de Taylor [io6], la valeur X, pour laquelle l'exposant A" est < I, rend infinie la dérivée
dy dy'
donc Téquation ^ =± oo est le véritable critérium às&
intégrales singulières, et les renferme toutes comme facteurs, à l'exception de celles qui seraient de la forme x^=iConst*y et qu'on obtiendra en traitant dans la proposée la variable jK* comme indépendante.
Par conséquent, en nous reportant aux équations {b\
si les valeurs de^ en x qui font évanouir -j^, conservent aux dérivées -f-, -f- des valeurs finies, ces valeurs
dy^ax
appartiendront à des intégrales singulières de (y*); mais si elles annulent ces mêmes dérivées, il faudra chercher par les procédés ordinaires les valeurs des seconds membres des équations (6), qui se présentent alors
DES igUATIOirS INTÉGRALES SlXfGULl£R£S. 279
SOUS forme indéterminée. Quand ces valeurs seront infinies^ les solutions qu'il s'agit d'éprouver constitueront encore des intégrales singulières; sinon, elles rentreront dans la catégorie des intégrales particulières, et néanmoins continueront de représenter des lignes enveloppes.
La démonstration que nous venons de donner, d'après M. Poisson^ n'est pas exempte des difficultés attachées à l'emploi des séries qui peuvent devenir divergentes : nous aurons encore à revenir sur ce sujet , en parlant de la construction des équations (Jifierentielles.
* 478. Par les équations (rf), (e), {g\ (A), on a
^^^^^ = f(a:,7)- f(:c,X)= («p/ïJ = (7- X)*irfj
et si l'on change de variables en posant j- — X=w, cette
équation devient
du
ri désignant alors une fonction des variables j;, i/, qui u'acquiert pas une valeur nulle ou infinie pour u=:o. Nous pouvons encore changer de variables et prendre à cette fin u^^*z=zVy ce qui mettra l'équation différentielle sous la forme
Pour k< I., cette dernière équation se décompose d'ellemême en deux autres
La première, qui équivaut à jr — X;=o, donne l'intégrale, singulière; la seconde au contraire ne peut plus
■ .'rryK-rrî^
280 LITBE VI. -^ CHAPITHt IT.
être satisfaite par cette int^ralé.singidiâre^ptiiiqaeitat une fonction qui ne s^évanouit pas avec v. ^
Donc, lorsqa'une équation dîfFéreatiefté'dkrpR^^ ordre comporte une intégrale singulière, ôii péiit par un diangemeot de variables la trknsFonnJBr iéil titie àutre^ où l'intégrale singulière apparaît comme fisicteur ooduiiun; 'de sorte qu'après la sup{yréssiôb'dé'<ïë'lkùiéui^ IktnmifeÀnéè n'a plus d'int^ralé singuIièreV et'TCpiî&ârile, daink' un système de coordonnées rèctaàÎpiBklrdi ^ lÉAe Mriê de lignes qui n'ont pas d^vetoppê. '* " ' * 479^.* Appliquons ceci à l'ëquàtiôn ' ' ■ ' ' 'J •
y»4^' + 4^=o, otî /=a(jr±i/5?35!), (3)
,doqt Tintégrale générale est .. : -
j=aaj?— a% (4)
.' ■■■■Il, j ^ i 'f'iJr *
et qui rq>résente en rânséquence un' syiftenie de cuites ayant pour ligne de contact la parai^le !r^— y=3(K Faisons x^ — jrz=iu^=3tff^ : Pé|{uation (3) deviendra
Après Ja suppression du &cteui? i^ il restera réquatioo -j-"^^ ==o, qui a pour intégiiilè' générale < = '
dx
v^Zjfi{x — a)^ (5)
et qui, lorsqu'on prend x pour abscisise, et v pour ordonnée rectangulaire, représente, un système de droites parallèles, n'ayant point par conséquent' dé ligné dé contact. D'ailleurs, si l'on substituait pour Jr' sa' vialeur en i; et a: dans l'équation (4), on retomberait sur l'équation (5).
L'application de celte méthode à l'équation (i) ne serait pas exempte de quelques difficultés, dans «le- eu où
DES EQUATIONS INTÉGRALES SINGUUERES. 281
Fou voudrait conserver x comme variable indépendante. Mais si l'on met cette équation sous la forme
et si Ton chasse ensuite x^ et xdx au moyen des équations auxiliaires
x^-h.X* — r'=:u*y xdx+fdjrt=zuduy elle prendra la forme très-simple u{duipdy)==:o; de sorte qu'après la suppression du facteur u, elle ne comportera plus d'intégrale singulière.
* 480. Inversement, on peut transformer une équation différentielle qui n'admet pas d'intégrale singulière, (le manière qu'après la transformation elle admette pour intégrale singulière une équation donnée. Soit, par
exemple, l'équation trouvée ci-dessus — ±1=0, dans
laquelle il s'agit de substituer pour v une fonction de x et d'une nouvelle variable z, telle qu'après la substitution^ l'équation résultante admette pour intégrale singulière l'équation linéaire
z — /7tr=o. (6)
Oq multipliera la proposée par (2 — mx)''^ A* désignant un nombre compris entre zéro et l'unité, ce qui la changera en
(z — mxfdv ± (z» — mxydx = o. (7)
Cela fait, déterminons la variable z, qui doit être fonction de V et de x, de manière qu'on ait
il viendra par l'intégration
X désignant une fonction arbitraire de j:; et par
suite
dz — mdx=^{z — mx^idif + rfX).
Tirons de là la valeur de dv et substituons-la dans l'équation (7) : celle-ci deviendra
dz — mdx — {z — /iw:)*(rfXrpÉti:) = o; et il est visible que l'équation (6) y satisfera comme intégrale singulière.
*481. Nous avons vu [448] que l'équation du premier ordre
étant soumise à une seconde différentiation, donne Téquation du second ordre i
qui se décompose immédiatement en deux facteurs, dont j l'un fournit l'intégrale générale, et l'autre l'intégrale singulière de la proposée. Il faut généraliser ce fait de calcul , et montrer que lorsqu'une équation du premier ordre admet une intégrale singulière, on peut toujours la mettre sous une forme telle que sa dérivée se décompose en deux facteurs, dont l'un donne l'intégrale singulière, par l'élimination de ^' avec la proposée, tandis que l'autre, qui est annulé par la valeur de^ en x tirée de l'intégrale générale, ne l'est plus par la valeur tirée de l'intégrale singulière.
L'équation
étant résolue par rapport à a donnera
et si l'on substitue cette valeur de a dans l'équation (a), l'équation résultante
F(a:,J,iC^) = 0 ^ (/•)
équivaudra à l'équation ( / ), en ce sens que, si elles ne
