DES EQUATIONS INTÉGRALES SINGULIÈRES

se confondent pas, ou passera de Tune à lautre en multipliant le premier membre de la première par une fonction convenablement choisie des variables x^jr^y. Or, en différentiant l'équation (y ), Ton a

dF^ dF , dP fdtà rfrf , f?î! 'A

et de plus la somme des deux premiers termes est identiquement nulle, puisqu'on a substitué pour a, dans la fonction F, sa valeur tirée de l'équation (a',) : donc la dérivée de l'équation (y) se réduit à

dF fdxi dxi , dr^ , A dvi\dx "*■ d^^ '^d^'^ ) ~ ""'

et se décompose en deuK facteurs

dF . . .

rfxi^ dxi , dvi ,, / . V

L'équation (y,), qui est du second ordre, a évidemment pour intégrale du premier ordre l'équation (y); et l'élimination de y entre les équations (/) et (y ) aura lieu si fon élimine 'tà entre les mêmes équations, ou si l'on remplace xi par a dans l'équation (y ) , c'est-à-dire que cette élimination donnera l'intégrale générale de la proposée.

De même l'élimination de^ entre les équations (^) et (y,) s'opérera par l'élimination de xi entre les mêmes équations, ou par l'élimination de a entre l'équation {a) et sa dérivée par rapport à a : elle conduira donc à l'intégrale singulière de la proposée, ou du moins à l'équation d'une ligne de contact des courbes qui eu repréxntent les intégrales particulières.

On voit aussi par ce calcul que la valeur de ^ en a:

tirée de Tintégrale singulière, laquelle donue pour/ une valeur qui vérifie la proposée, ne donne pas pour^' une valeur propre à vérifier l'équation (y,), ni par conséquent pour J^\y^^t etc., des valeurs propres à vérifier les dérivées successives de la proposée.

Appliquons cette analyse à l'équation {pL) : on aura

d'où

trf = £, F(^,j,trf)=^'-^-f;;-r>=o, (8)

équation qui se confondrait avec (i) par l'expulsion du dénominateur /'*. La difSérentiation de l'équation (8) donne

ou bien

La valeur de/' tirée de l'équation/-] — 7=0, et subs-

tituée dans la proposée, donne l'intégrale singulière ,t*-|-/* — r*i=:o. L'autre facteur est la dérivée par rapport

à X de la fonction —,\ l'intégration donne donc -7 =«;

et cette valeur de y\ substituée dans la proposée, reproduit l'équation (2).

*§ 2. Intégrales singulières des équations diffërentielles

des ordres supérieurs.