Nous disons de plus que, sans restmndre la
généralité du problème qui consiste à obtenir l'intégrale
(^), il est permis de supposer le polynôme R* de la
forme
R»=:(i ±p^x'') (i iy'jT'), (R)
les termes /?*x% q^x^ devant être affectés du même signe, positif ou négatif.
En effet, puisque R' ne contient point de puissances impaires de a:, et qu'un polynôme du 4* degré se décompose toujours en facteurs réels du second, rien n'em-> pêche de poser
R» = (wi + nx"^) {m* + « V) ,
m, n, m'y ri désignant des quantités réelles. Donc, si l'on fait
m{m' + n'x^) mV m'+n'x^^
la variable t sera réelle en même temps que x. On tire de ces équations
an
dx xdx mdt
R mlinil 4- w'^) m -f- ina^ — /l'/nV*
dt
Il^TEGRATlON DES FONCTIONS ALGEBRIQUES. 19
Posons maintenant
il viendra
9* = it {%m'n — mn!) — 2V/m'»(/n'«— m»'), d^oîi, en vertu d'une formule connue d'algèbre ,
p = V^±^n 4- V^±. {nin - mn) , y = V^^m^ — V/±:(otii — mn').
On pourra disposer du signe, de manière à rendre réel le radical \/^±, m'n ; et en admettant, ce qui est bien permis, que l'on a
le second radical qui entre dans les valeurs de p etàeq sera pareillement réel.
En conséquence, il viendra
, n'm'f — m±m i/{\ ±:p*t») (i ±yv»)
Si l'on substitue ces valeurs dans la fonction'
on la mettra sous la forme
ou, ce qui revient au même, on peut admettre que dans la fonction (A), le radical a la forme indiquée par l'équation (Rj.
305. I^a fonction F peut être entière ou fractionnaire. Supposons d'abord qu'elle soit entière, en sorte qu'il s'agisse d'obtenir une somme d'intégrales de la forme
et posons^ pour abréger,
R*= (i ±/?'a^) (i ±î7*^) = I 4- ra^ 4- ^^"^ : on aura identiquement
— ^— =(ai— 3)Rx— 4 + V £:: —
et par conséquent
«V fx^^'-^dx , , Cx^'-^dx R^»* -3 ^ const. = (ai — 3) / ^ h (ai— 2)r/ — ^
, . . Cx^'dx + (at— ay-^.
Ainsi l'intégrale {i) est ramenée à dépendre de deux autres de même forme
/x^'-^dx tx^'-^dx^
et comme on peut opérer ainsi de proche en proche, il en résuite qu'en définitive l'intégrale (i) sera ramenée à dépendre, quel que soit i, des deux intégrales
Si la fonction F (j;*) est fractionnaire, on en extraira la partie entière; et le reste étant décomposé en fractions partielles [§ ï*'], on aura à obtenir une somme d'intégrales de la forme
Or, on a identiquement
d'ailleurs on peut poser
(i + ar^c* 4- 35^^) (x'-f-a) — a(<— i) (i + ror* 4- sx*)a:^
(a:* 4-2)*'-^ (a;* + a)'-* (ar^ + a)'-* (^+<i)' * g, h, ky l étant des coefficients que l'on déterminera sans difficulté en identifiant les deux membres^ et qui ont pour valeurs
g=z-^{iù — 5)if, A = — (a* — 4)('' — 3^5),
k-=: — (ai — 3)*(3a*iç — a^r-hi), /=-(a/ — a)(a^r — raV4-«).
Il viendra en conséquence
, /* Étp . Ç dx
■*" 7(^T^pR ■*■ 7(^-f-flyR-
En vertu de cette dernière formule, et par un calcul de proche en proche semblable à celui qui vient d'être indiqué pour l'intégrale {i), on ramènera l'intégrale (y) à dépendre des deux intégrales (A) , (B) et d'une troisième
{x^ + à) 1/(1 dr/i'ic*) (i d: q^x^) ' Donc^ en définitive, l'intégration de toute fonction rationnelle de X et d'un radical carré recouvrant un polynôme du quatrième degré en x, se ramène à la détermination des trois intégrales (A),(B), (C).
Nous verrons plus loin quelles transformations ultcrieut*es les analystes ont fait subir h ces dernières
fonctions , quelles sont les principales propriétés dont elles jouissent 9 et comment on a pu dresser des tables des valeurs numériques qu'elles acquièrent , quand on assigne numériquement les limites de l'intégration.
§ 4- Irrationnelles binômes.
