Nous appellerons irrationnelles binômes les

fonctions de la forme

t R= ^«-'(aH- *^)«, (RJ

p^q désignant des nombres entiers, einij n des nombres quelconques. Si //2 et /2 sont rationnels, on peut les supposer entiers, sans restreindre la généralité de l'expression, ainsi qu'il est facile de s'en assurer. Les fonctions Rdlr sont désignées communément par la dénomination fort impropre de différentielles binômes. Si l'on pose

il viendra

ainsi Vidx sera rendue rationnelle par cette transfornia-

tion, si — est un nombre entier.

L'équation (R,) peut être ainsi écrite :

R=^ 1 {ax-'' + by ', donc, d'après ce qu'on vient de voir, la fonction R^i^ sera encore rendue rationnelle, si le rapport

np

se réduit à un nombre entier. Hors des deux cas que

INTEGRATION DES FONCTIONS ALGl^BKIQUES. 23

Ion vient d'indiquer, la différentielle "Rdj: ne pourra en général être délivrée de l'irrationnalité qui l'affecte. Quand on fait .r"=^, il vient

R^ = -/« (a + bt)9dt:

donc la détermination de Tintégraie fKdx se ramène à celle de l'intégrale

fai^"^ {a + bxy dx ^ {k)

les constantes \l, v, pouvant avoir des valeurs quelconques, entières ou fractionnaires, et même irrationnelles. Or, nous allons faire voir que la détermination de l'intégrale {k) se ramène toujours à celle d'une autre intégrale où les valeurs des constantes \l^ v seraient comprises entre zéro et l'unité.