CHAPITRE VIL

BE LA CONSTRUCTIOir DES lÊQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A UJfE SEVLE VARIABLE INDÉPEUDAlfTE.

512. Nous avons discuté les cas principaux où l'on sait assigner la fonction qui satisfait de la manière la plus générale à une équation différentielle donnée , ou trouver l'équation générale des courbes qui jouissent en tous leurs points de la propriété exprimée par l'équation différentielle. Nous avons indiqué comment, lorsque l'intégration n'est plus possible sous forme finie, on peut encore souvent, ou ramener l'intégration aux quadratures, ou développer l'intégrale en séries convergentes, ou quelquefois même remplacer les séries par des intégrales définies, prises entre des limites spéciales, eit susceptibles d'être évaluées numériquement, avec une approximation illimitée, pour chaque valeur de la variable indépendante. Mais une équation différentielle à laquelle aucun de ces procédés d'intégration n'est applicable, n'en détermine pas moins la série des valeurs numériques par lesquelles la fonction doit passer, apèrs qu'on a assigné, pour une certaine valeur de la variabte indépendante, les valeurs correspondantes de la fonction et de ses dérivées, jusqu'à celle dont l'ordre est inférieur d'une unité à Tordre de l'équation proposée. Il peut même arriver que, par la discussion directe de l'équation différentielle, on découvre la marche et toutes les propriétés caractéristiques de la fonction qu'elle dé-