CONSTRUCTION DES ÉQUATIONS D1FF£|IE«T1£LLES

({uand on la résout par rapport à y . Pour chaque sys* tème de valeurs de x et de y^ cette équation détermine le rapport de la variation infiniment petite de / à la variation infiniment petite de x : elle détermine donc implicitement la différence finie des valeurs de /, correspondantes à deux valeurs de x séparées par un intervalle fini^ lorsque dans Tintervalle cl)r ne cesse pas d'être une quantité infiniment petite, ou lorsque la fonctionj^ n'éprouve pas de solution de continuité du premier ordre; ce qui a lieu quand la fonction y reste finie, et même dans certains cas , quoique la fonction^ passe par Hnfini.

Désignons par Xq^'K. deux valeurs de x séparées par un intervalle fini; posons /lAx = X — Xq, n désignant un nombre assez grand pour que la quantité A:r puisse être considérée comme une quantité très-petite du premier ordre [45]; faisons j?,=jro + Aj;, x^ =^o + ^^ , ^3 = ^o + 3Ax , etc. ,

et désignons par/o,^»»^»» etc.;yo^X> /'«^ «t^-» *es valeurs dej^y qui répondent respectivement aux valeurs de a; désignées par Xq, x^^ x^, etc. Si l'on se donne arbitrairement la valeur ^o, on peut, avec Téquation (/*), calculer approximativement, de proche en proche, la série des valeurs de la fonction jr entre les limites x:=zx^^ a; = X. En effet, cette équation donne

et Ton a, en négligeant une quantité très-petite du second ordre,,

Parla substitution de cette valeur de^, dans l'équation

336' Livmi ▼!• — GHAMnui vurf

oo obtient la valeur .de y,, afiiBctée d'une enear qai m peut être non plus^ en général^ qu'une quantité du woond ordre;car,en général^ la variation de la fenction/eit oae quantité de même ordre que les variations des quantité x,jr dont elle dépend. On aura donc, aux quantités pris du second ordre,

r«=r.+r'« A*=ro+/(*o, r.) . a* +./(«., r.) ^ A* ,

et ainsi de suite. Gomme n est, par hypothèse^ un tièigrand nombre ^ ou - une quantité de Tordre de Ai,

Terreur qui se commet, à chaque valeur de jr que Toi détarmine, étant répétée n fois, peut amener, sur la valeur trouvée; pour T qui correspond à X, une erreur éçale à une quantité très-petite du premier ordre, ou de Tordre de Ax^ et qui sera négligeable si Ton a pris pour àx une quantité suffisamment petite. Ce raisonnement tombe en dé&ut lorsque les dérivéèi

dx '""^

sont susceptibles de devenir infinies, pour des valeurs de X et de / qui tombent respectivement entre x^ et X, j-Q eX.Y\ car alors une variation très-petite du second ordre, attribuée à ^ ou à^, peut faire varier la fonction y* de quantités du premier ordre: mais, dans ce cas même, si la fonction /ne devient pas infinie, on conçoit que la fonction^ passe, en vertu de Téquation (/*), cpii eu règle les variations infinitésimales, par une succession de valeurs déterminées ; bien que la méthode d'approû* mation ne soit plus propre à donner, avec une précision suffisante, une série de valeurs séparées par des intervalles finis (').

(*) On n*a guère occasion de pratiquer le ctlcul d'appraiiMh

CONSTRUCTION DES lÊQUATIONS DlFFiBENTIELLES. 337

Oo remarquera que le calcul arithmétique qui vient d'être indique y équivaut à construire la courbe dont l'ordonnée est la fonction y ^ en substituant à cette courbe un polygone qui s'en rapproche d'autant plus que la ligne Ax a été choisie plus petite, et en se donnant en outre un point par lequel la courbe doit passer, et qui est un des sommets du polygone construit.

514. Quand la valeur de/', donnée par l'équation y, passe par l'infini , on peut renverser cette équation et écrire

en prenant^ pour variable indépendante. Si la fonction^ doit devenir infinie en même tenips que^', l'équation différentielle, mise sous cette dernière forme, pourra servir à prolonger tant qu'on le voudra la branche de courbe m^{fig. loa), sur laquelle ou a pris le point m^ pour point initial , et qui est située en deçà de l'asymptote PN, parallèle à l'axe des j^. On ne pourra continuer la construction de la courbe, de l'autre côté de PN, qu'en se donnant arbitrairement un autre point initial m'^j par lequel la branche m'(/i' sera assujettie à passer* Rien ne s'oppose à ce qu'on choisisse pour m'o conune pour uIq un point quelconque, sous la seule condition que les valeurs de ses coordonnées ne rendent pas imaginaires les valeurs correspondantes de^ données par l'équation (/*).

tion indiqué dans ce numéro, et par conséquent de désirer une expression rigoureuse des limites de Terreur commise. Cette expression a été donnée par M. Cauchy. On peut consulter là-dessus les ouvrages de cet habile analyste, et un mémoire de M. Binet , inséré dans le Journal de math., de M. LiouviUe, tom. II , pag. 229.

T. II. nn

Quand on peut exprimer analytiquement Tintégrale de l'équation (/'), la branche mji^ qui doit être associée à rriçp,^ se détermine ordinairement par la condition que la constante arbitraire ne change pas de valeur dans le passage d'une branche à l'autre; mais cette condition déterminante disparaît, lorsque l'équation différentielle n'a pas d'intégrale susceptible de s'exprimer avec les signes de l'analyse.

Ija différence de deux valeurs de j^ entre lesquelles a lieu le passage de la fonction y par l'infini , ne peut plus exprimer la somme des accroissements infiniment petits que la fonction a reçus dans l'intervalle; et la dénomination ^intégrale ne s'appliquerait plus qu'improprement à l'équation en x^y qui satisfait à l'équation différentielle proposée, si l'on avait en vue la comparaison de ces valeurs. Soient pourtant x^^ les valeurs de.r entre lesquelles tombe celle qui rend y infini, et } oiY les valeurs correspondantes de^ : si l'on fait passer r de la valeur Xq à la valeur X par une succession de valeurs imaginaires qui ne donnent point à^ des valeurs infinies, la différence Y — y^ exprimera de nouveau la somme des accroissements infiniment petits, réels ou imaginaires, reçus successivement par la fonction/, dans le passage d'une valeur à l'autre [Sai]. La somme (les parties imaginaires de ces accroissements devra être nulle, puisque, par hypothèse, les valeurs ^o,Y, et par conséquent leur différence Y — -j^^ sont des quantités réelles.

515. Il y a lieu de soumettre à une discussion spéciale le cas où l'équation différentielle serait de la forme

lui ( (fel , soit ;',i une valeur de )' qui fait évanouir <p r:

CONSTRUCTION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 33i)

i la valeur de la fonction^' croît ou décroît sans disconinuité, de la valeur initiale ^o à la valeur j^n? au monent où/ aura atteint cette valeur j^^, celle de^' sera nulle; la valeur consécutive

se réduira donc à/»; de sorte que ^'„+, sera encore une quantité nulle, et ainsi indéfiniment. Par conséquent la valeur de la fonction , après avoir été une quantité variable de^^ ^JKny deviendra tout à coup une quantité constante.

Il faut bien considérer que la remarque faite ici ne porte pas seulement sur la construction arithmétique ou graphique au moyen de laquelle les valeurs consécutives d'une fonction se trouvent déterminées avec une approximation illimitée, en vertu de l'équation différentielle qui exprime la loi de ses variations infinitésimales, lors même (fie cette équation ne comporterait pas d'intégrale exprimable analytiquement. La remarque porte avant tout sur la génération même de la fonction, toutes les fois qu'elle passe effectivement et dans le sens propre par une succession de valeurs; ce qui suppose que la variable indépendante x désigne le temps ou une quan> tité qui croît avec le temps.

516. Il s'agit de savoir dans quelles circonstances la fonction j- peut atteindre la valeur qui fait évanouir ç/, en partant d'une valeur initiale différente. Pour cela , considérons d'abord le cas où la fonction ^ (.^,JK) se réduirait à une constante c, et où la fonction ©/ serait de la forme mj'-^-n, m et n désignant des nombres constants. L'équation

y =zc { my -^ n)

a pour intégrale

x^jj'o désignant les valeurs initiales des deux variables. La quantité rn/o-]-^ est par hypothèse différente de zéro : il résulte donc de la forme de l'intégrale , que la quantité mj^-^n ne peut devenir nulle pour aucune valeur finie de x; que seulement elle converge vers zéro quand la quantité mc(x — x^\ supposée négative, prend des valeurs numériques de plus en plus grandes.

Passons au cas général , et admettons seulement que la fonction (f^ ne devienne pas infinie pour la valeur de/ qui annule (fj'. Soit ti cette valeur : si la fonction jr, en partant d'une valeur plus petite ou plus grande, peut croître ou décroître jusqu'au point d'atteindre la valeur tq, il sera permis de prendre pour /^ une valeur infiniment peu différente de tq , et alors ç/ différera infiniment peu de (/ — 7i) ç'y). Admettons, pour fixer les idées , qu'on ait /^ > v) , ç'y) > o : d/ ne pourra pas devenir négatif pour des valeurs positives de d.x, et par conséquent j^' ne pourra point passer de la valeur /o à la valeur vi, si la fonction ^ (^,J^) ne prend dans Tintervalle des valeurs négatives. On exclut d'ailleurs le cas où cette fonction passerait par l'infini ou deviendrait indéterminée. Soit donc — c la plus grande numériquement des valeurs négatives que la fonction ^ C^^^) pï'end dans l'intervalle : on vient de voir, d'après la forme de l'intégrale que comporte l'équation

dj= — c [j — 7i). cpTi dx^ (a)

que la différence j — vi ne peut devenir nulle pour aucune valeur finie de .r ; à plus forte raison il est impossible, quand la fonction j- doit satisfaire à l'équation différentielle

CO]?rSTRUCT10N DES EQUATIOITS DIFFÉRENTIELLES. 341

djr=^{x,jr). [X—n ) . cp'Yiflfe , (3)

^ue la différence / — vi s'évanouisse pour aucune valeur Snie de x; puisque, par hypothèse, la fonction ^ (^,^), Bo la supposant même constamment négative, n'atteindrait jamais une valeur numérique égale à c^ et qu'ainsi yr décroît moins rapidement en vertu de l'équation (3) qu'en vertu de l'équation (2).

Si l'on supposait^^ <7i, ou (p'n <o, on démontrerait par un raisonnement semblable^ que y ne peut de- Arenir égal à 71 pour aucune valeur finie de a:.

Il ne reste donc plus que l'hypothèse où le coefficient ff'-n devient infini; ce qui arriverait, par exemple, si Tou supposait

k désignant un nombre compris entre o et i, ou bien encore

et alors l'équation ^=7) est une intégrale singulière de l'équation (1).

517. Nous avons admis que l'équation (F), résolue par rapport à y y ne donnait pour y qu'une seule valeur réelle /(.r,j^). Évidemment dans ce cas il n'y a pas d'intersection entre les lignes , en nombre infini , que l'on peut construire en vertu de l'équation (F), en se donnant arbitrairement un point de chaque ligne; puisque, si elles se coupaient,^' aurait, contre l'hypothèse, plusieurs valeurs correspondantes aux coordonnées x,j' des points de rencontre. Ce principe ne souffre d'exception que si la valeur de y' devient indéterminée pour certaines valeurs de Xyj-, Par exemple, l'équation diffé-

342 LIVRE Vr. CHAPITRE VII.

ri»ntielle^='^ appartient à une infinité de lignes droites

(|ui se coupent toutes à l'origine des coordonnées, point pour lequel la valeur de y se présente sous la forme

Ijorsque l'équation (F) donne à j plusieurs valeurs distinctes y-==i{^{x;y)^y-===ii^(Xyf)^ etc., chacune de ces équations, prise séparément, peut se construire comme l'équation (y*), et doune naissance à un système formé d'une infinité de courbes ou de branches de courbes , particularisées par le choix du point initial.

Ainsi l'équation

j 'j7* — ly'x (/ — ^ ) + j* + ^* = o (û)

équivaut aux deux suivantes

dont chacune peut être séparément construite.

Dans cet exemple , y prend une valeur imaginaire^ toutes les fois que les variables x^y satisfont à l'inégalité

La courbe

p{p — 'iy) — oc^=^o [b]

limite donc sur le plan xjr la région dans laquelle peuvent s'étendre les courbes caractérisées par l'équation [a). Les deux valeurs de jr' deviennent égales pour les points situes sur la courbe {b) ; c'est-à-dire qu'elle est le lieu des points où se raccordent deux h deux les branches de courbes caractérisées respectivement par les équations {(i,)^[a.^. Or ce raccordement peut avoir lieu (le deux manières différentes.