Â^UATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES

planes consiste 9 intégrer l'équation différentielle à trois

variables

ds^ = da;^ + dx\ (i4)

qui ne peut point se décomposer en focteurs linéaires, ni comporter pour intégrale une équation unique entre x^y^s et une constante arbitraire, mais dont néanmoins l'intégrale générale peut s'écrire sous une forme plus complexe.

En effet, il est permis démettre l'équation (14) sous la forme

c&* = (d^cos a — dy sin a)' + [dx sin a -l- <// cos a)*, a désignant un angle arbitraire; et par suite on peut remplacer cette équation par le système de deux autres

ds ^:: dx cos « — < ^ sin a , dx sin 01. + ^ cos a :;= o , qui. ont pour intégrales

/ = a;cosa — /sina-i-p, ^sin a+7COSa=Y » (*^) P,Y désignant d'autres constantes arbitraires. Maintenant que le système (i5) nous fournit une solution particulière de l'équation (i4), il s'agit de généraliser cette solution ; et pour cela, suivant la méthode déjà appliquée dans le chapitre VIII du quatrième livre, nous poserons d'abord p=<pa, y^^^'a» P"î^ nows^ égalerons à zéro les dérivées des équations (i5) par rapport à a, considéré maintenant comme variable. Ce calcul donne

0 = — orsina — 7COsa-f-<p'a, ^cosa — jsina=ij|'a , d'où ^a=3p'«, ^'a=ç"a. Conséquemment ou satisfera à l'équation (i4) par le système des trois équations

s =zx cosa — y sin a 4- ça ,.

arsina4-/cosa = <p'a , j:cosa — j^sina=^cp a,

dans lequel la fonction ? reste arbitraire, ou par le sys-

tèine suivant qui s'en déduit,

j?= çp'a . sin a + (p''a . cos a ,

j = cp'a . cos a — cp"a . sin a , (ifij

et d'où l'on tire en effet

rfjr = ( çp'a + ç'"a ) cos a ^a , ^/j = — ( <p'a + ^'''a) sin a rfa ,

rff = (?'a + ?'"a)rf«, valeurs qui vérifient bien évidemment l'équation (i4). Si l'on assigne la forme de la fonction 9, on aura l'équation de la courbe plane dont s^Xjjr désignent respectivement l'arc, l'abscisse et l'ordonnée, en éliminant a, si c'est possible, entre les deux premières équations (i6), et la valeur de l'arc en fonction de x ou de^, en éliminant a entre la troisième et la première ou la seconde des équations de ce groupe. Si l'on donne au contraire l'équation de la courbe

on y substituera les valeurs précédentes de x et de^, ce qui donnera une équation différentielle du second ordre, entre a et 9a, dont l'intégration complète doit amener deux constantes arbitraires. Or, dans ce cas, la troisième équation (16) donnerait aussi la valeur de s avec deux constantes arbitraires; tandis que cette valeur ne comporte essentiellement qu'une constante arbitraire, en raison du choix arbitraire de l'origine des arcs. Voici comment cette difficulté a été levée par M. Poisson, d'après une remarque analogue de Lagrange [49^] •

Quand on différentie l'équation (/*) et qu'on y substitue pour dxy dj leurs valeurs en fonction de a, il vient

f -—- cos a ^ sin a j ( cp'a + cp"'a ) rfa =: o ,

ÉQUATIONS AUX DIFFl^RfiNTl ELLES TOTALES. 359

équation qui se décompose en deux autres

i^a -f- (fa = o , •— cos a — -/■ sm a = O •

La première s'intègre immédiatement et donne

ça -f- ç"a =: eonsL ;

mais cette solution ne satisfait pas à la question, puisqu'on en conclurait s=const. La seconde équation ne contient pas f'^'a, et elle est du second ordre par rapport à ?, aussi bien que Téquation (/*). Si donc on élimine 9''a entre ces deux équations du second ordre y on obtiendra une équation du premier ordre , qui sera une intégrale singulière de (f) : en intégrant de nouveau , on aura la valeur de fa, et par suite celle de s avec une seule constante arbitraire.

* 526. Le système des équations (i6) n*est pas le seul qu'on puisse poser comme équivalent à Téquation (i4)* Il est clair que l'on satisferait à cette équation par le système de valeurs particulières

a?=flj + a , 7 = 5^^1 — a* + p ,

dans l'expression desquelles a, a, ^ désignent des constantes. Donc on satisfera aussi à l'équation (i4) par le système de formules

a?z=5<pa4-a, jr=sl/^i — (<pa)* +<fa, (17)

dans lesquelles (p^ ^ désignent des fonctions arbitraires de la variable a, assujetties à vérifier les équations dérivées

o=V«4-i, 0 = — -^yL^ + fa. (18)

Les équations (17) et (18) peuvent s'écrire ainsi qu'il

suit :

çpa =0, çaH — = 0,

par où l'oQ voit que la première s'identifiera avec la quatrièiq^, si l'on détermine la fonction f de manière à satisfaire à la relation

En même temps la seconde équation, qui est la dérivée de la première par rapport à a, s'identifiem avec la dérivée de la quatrième ou avec la seconde dérivée de la troisième : la fonction 9 se trouvera éliminée, et l'on aura, pour satisfaire à l'équation ( i4)> 1^ système des trois équations

•a?— a + O— tJ/a)fa = o, | (19)

à l'inspection desquelles on reconnaît que a, i]; a et «f désignent les coordonnées parallèles aux x et aux^, et le rayon de courbure de la ligne qui aurait pour développée celle dont x^y sont les coordonnées courantes [190 ^^ suw.^ 344 ^^ 49^]'

Si l'équation (i4) était remplacée par cette autre plus générale

la même analyse donnerait, au lieu des équations (19), F( /- — ^)=o, :7-=o, -^=0.