CHAPITRE IL
DE l'intégration, KN TERMES FINIS , DES JÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES DU PREMIER t>RDRE.
527. On a vu [166 e^ suw.] comment se pratique rélimination des fouettons arbitraires entre une. équation à plusieurs variables indépendantes et ses dérivées; et comment , par cette élimination, on tombe sur une équation aux différences partielles, qui a autant de généralité que l'équation primitive, et dont cette équation primitive est l'intégrale. Ce sujet a été repris avec plus de détails, en vue des applications à la théorie des surfaces, dans les chapitres VU et YIII du quatrième livre. Maintenant il s'agit d'exposer les procédés les plus généraux qu'on emploie pour remonter d'une équation aux différences partielles à son intégrale; quand cette intégrale peut s'exprimer sous forme finie, ou en séries convergentes d'un nombre infini de termes, avec les signes reçus dans l'analyse. D'ailleurs les équations aux différences partielles, considérées en elles-mêmes, indépendamment des accidents de forme qui fout qu'elles admettent ou qu'elles n'admettent pas des intégrales analytiques, ont une signification et une valeur propres qui doivent faire l'objet d'une étude particulière et d'une discussion directe : c'est par cette discussion que nous terminerons le présent livre.
362 LIVRE VII. CUilPITRB II.
§ I*'. De l'intëgralion des équations linéaires du premier ordre.
528. L'intégration des équations aux différences partielles du premier ordre, linéaires par rapport aux dérivées partielles qu'elles renferment, a été ramenée par Lagrange à dépendre de l'intégration d'un système d'équations différentielles simultanées. Soient
l'équation qu'il s'agit d'intégrerj et
F(m, Xy 7, Zy ty etc.) = o
l'intégrale cherchée : u désignant une fonction des n variables indépendantes x^y, Zj tj etc., et U, X, Y,Z,T, etc. des fonctions quelconques des /^-{- 1 variables M,.r ,^,2,^, etc. On a
^ €L^ £!! ^^ ^ dFdu ' dx du dx ^ dy du dy '* dz du dz * '
en conséquence, l'équation (a) peut prendre la forme
^^rfF ^rfF --rfF ^rfF ^t/F ,,,
U-J-4-X-J — hY— + Z.^ + T-57 + etc.=o; [b] du dx dy dz dt
et le problème est ramené à déterminer de la manière la plus générale, la fonction F qui satisfait à l'équation (i). Concevons qu'on ait intégré, avec toute la généralité requise, le système des n équations différentielles simultanées, renfermées dans l'équation continue
du dx dy dz dt . .
on pourra mettre les intégrales sous la forme
f i(^77)V)- • .")==«,, f,(ar,7,z,^,. . .tt)==a,,. . .
. . . \,lx^^z^t<^ ,,,uj = a„ , [Uj
r/„rt„. . ,a„ désignant les /^ constantes arbitraires amenées par l'intégration ; et l'on aura par conséquent
iQDATlOHS DU PBEHIER ORDfiB. 363
^ + ^^ + rf^+rf,+ ..rf.+ etc. = oj ou bien, en vertu des équations (c),
Ainsi les n fonctions f^ f., . . . f. satisfont à Téquation (b) et fournissent autant d'intégrales particulières de la proposée (a).
Il est facile de voir qu'une fonction arbitraire O des quantités f^, f^^. ..f, satisfait pareillement , à l'équation (a) ; car si l'on ajoute les premiers membres des équations (d')^ après les avoir multipliés respectivement par
il vient
rff/ df:'-dû'
TT^ . V^ Xr^ rwà^ rwyd^ ^
U-J-+X-J — HY-^+Z-^+T-j--+-élc.=o.
du dx dy dz dt
Donc on a pour intégrale de la proposée
^f.,fa,f3- • •f.)=^» ^^ f« =?(fof3vf«)l
0, 9 étant des caractéristiques des fonctions arbitraires; et d'ailleurs on reconnaît que cette intégrale a toute la généralité requise, attendu qu'on ne peut éliminer qu'un signe de fonction arbitraire , par la combinaison d'une
364 Ltrmm tii. — (aiAmrns il
éqoatioo arrc ses àtriwm pflvtîeDei dn pranicr oïdic 529. Appliquons oettr anaJjK a Tëquatioii à trob nriables
X^+Y^ = Z, oa I>+Ty=Z, (i) ^
et supposons en premier Ken que les fionctions X, Y^Z se réduisent à des nombres constants P, Q^ R : les équations (c) deriennent
Bi£r — Vdz^=o^ Bdx — Qdz=^o^ et elles conduisent aux intégrales
RjT — Ps=a., Rr— Q^=^.; W
de sorte que la proposée (i) a pour intégrale géaé- F
raie
Rot— Pz=ç(R7— Qs).
Cette équation caractérise la Êimille des surfiM^es cylin-
driquesy et les équations (a) sont celles des droites gé*
neratrices [247].
Conservons à X, Y leurs valeurs constantes P, Q, et
posons Z = z: on aura pour équations différentielles à
intégrer
Pdjr — Q(Lc=zOj zdx — Péfezzio, d'où
ce qui met rintégrale de la proposée sous la forme
^c=/.<p(Pj Qx). (3)
Enfin, si nous prenons pour dernier exemple l'équation
nous aurons à intégrer les équations différentielles à deux variables
xdz = ndx i/iT+T^^ xdy — ydx=^ o :
^UilTIONS DU PREMIER ORDRE. 365
la seconde donne ^= a, x, et la première devient, par la substitution de cette valeur de y y
€lz=ndxi/7+â*j d'où z=/i l/i-4-a; .x+a^ , et en remettant pour a^ sa valeur,
En conséquence Tintégrale est
530. Le propre des intégrales complètes (J) est de satisfaire aux équations (c) immédiatement, en ce sens que les valeurs de du^ dx, rf/, dz, etc., tirées des dérivées des équations {d\ rendent les équations (c) identiques, sans qu'on ait besoin de revenir aux liaisons établies entre les variables w, ^x,j', Zy etc., par les mêmes équations {d^ ; puisque ces liaisons dépendent des constantes a„ tf,, etc., et que les équations (^), ou leurs dérivées, doivent vérifier les équations (c), quelles que soient les valeurs assignées à ces constantes arbitraires. Inversement, et par une raison contraire, si les équations {c) admettent des intégrales singulières
?.("2^i7A^- • .1*) =0,. . .<p„(j:,/,z,^,. . .m) =0, j ^ ^ les dérivées de celles-ci ne vérifieront les équations {c) qu'autant que l'on tiendra compte des liaisons exprimées par les équations (^); ou, en d'autres termes, il faudra combiner les équations (&) avec leurs dérivées, pour satisfaire au système des équations (c). Cela posé, chacune des équations (^) satisfera à l'équation (é), ou à l'équation {a) dont celle-ci est une transformée; mais on ne satisferait pas à l'équation (é) en prenant pour F une fonction arbitraire des quantités f,, f„. . .f., ou une fonction arbitraire dans laquelle entreraient, en
366 LIVRE VII. CHilPITRE II.
totalité ou en partie, les quantités f ,, 9.9 •• . <fnj associées aux quantités fj, f.,. • .f„, prises aussi en totalité ou en partie. Donc Téquation (a) n'admet pas d'autre intégrale complète que celle où les quantités f., f^^. • .f. entrent exclusivement sous le signe de fonction arbitraire, mais elle est satisfaite par chacune des équations ($) ; et ces équations sont des intégrales singulières de l'équation (a), puisqu'elles ne se trouvent pas renfermées dans l'intégrale complète.
Prenons pour exemple l'équation linéaire du premier ordre à trois variables
P—ç{t+^ — v/;r+7+l)=7 — j7 + l/x«+^ + 2, (5) dont l'intégration est subordonnée à celle des équations différentielles simultanées
que l'on peut remplacer par
et qui ont pour intégrales complètes,
La seconde de ces intégrales donne naissance à l'intégrale singulière
Chacune, des équations
donne pour y? et q des valeurs qui, mises dans l'équation (5), la rendent identique : en conséquence, l'équation (5) a pour intégrale complète
— X + v/x»4-^-4-3 = t];(z — X — 7), A étant une caractéristique de fonction arbitraire. Au contraire, l'équation (6) donne pour p et q des valeurs
lÎQUATiONS 1>U PREMIER ORDRE. 367
]ui, substituées dans l'équation (5), ne satisfont à cette équation qu'autant qu'on tient compte de Téquation (6) pour supprimer le radical qui entre dans l'équation (5). Des lors l'équation (6) ne satisfait à la proposée (5) qu'en qualité d'intégrale singulière.
Si l'on met l'équation (4) sous la forme équivalente
dF dF , rfF
CD trouvera de même qu'elle admet pour intégrale singulière l'équation
ou le système des équations a;=o,^=o.
* 531. Soient a:, /, 2, etc., des variables indépendantes en nombre n; Uy Vy w, etc., des fonctions de ces variables en nombre m-^ i, qui doivent vérifier le système des /tz+i équations aux différences partielles, linéaires et du premier ordre :
^ du -,du ^ „^f* dx dy dz
^dv -.dv rw^^ ■ / * N
-.dw «rfw ^«&v
etc.,
îans lesquelles U, V, W, etc. ; X, Y, Z, etc., désignent Jes fonctions quelconques de toutes les variables dépendantes et indépendantes. Soient
des fonctions des mêmes variables, qui, mises à la place de F, rendent identique l'équation
^yd¥ xr^F -ï.r^F
U-7- + V-3 — hWT- + etc, au aif atv
OU bien des fonctions telles que le système d'équations
difTérentielles simultanées
du dtf dw dx dy dz
TT"" V" ipy^— etc.^Y— 2— ^*^-
ait pour intégrales complètes
le système des équations (A) aura pour intégrales complètes
<E»i9 <E»s9 • • • ^M+x étant des caractéristiques de fonctions arbitraires. Yoici comment ce théorème remarquable a été établi par M. Jacobi :
Désignons par X,, X,,. . .y^n-^-x des quantités auxiliaires telles que les rapports de Tune d'entre elles à toutes les autres soient déterminés par le système d'équations linéaires, en nombre in :
^''d7^^^iûr'^""^^''^^~dr—'''
dw aw dw
etc.; et posons pour abréger
nous aurons , en différentiant successivement chacune des équations (*!*) par rapport à la variable indépendante Xy
rf<I>, rf^, du d^, dsf rf*. dw \
dx du dx dv dx dw dx * '
£M>. d^^ du rf*, dv rf0, dw
, -i î • 1- • — 4- 1 . |-etc.=ïo, I
dx du dx dv dx dw dx )(^')
rf€>^4.. d^„^,du d^jnJ^eh^ . ^!bl±i.^L-etc =< €£r du dx dt^ dx dw dx
Multiplions les équations ( >. ) respectivemeut par ^, -j-, etc., l'équation (a) par — , et ajoutons, en tenant compte des équations (O') : il viendra
^S;— A •■^T"*^^' "ISJ"^- •"^^-+' "Tî^>
On trouverait de inême
etc.
Mais, parce que les fonctions iy et par suite les fonctions ^, mises à la place de F, vérifient l'équation (B), on a identiquement
U-j^4-V-7-^ +etc. H-X-y^+Y-5-^+etc. = o, du dif dx dy
U --j-î^ + V —j^ +etc, -f X --j-i + Y --r-^ H-eic. = o, £ra dv dx dy
U — r-^+ V — 7-î-+etc.+X — ,-^^+Y — 7-!-.-|-etc.==o. au dv dx dy ^
Multiplions ces équations respectivement par X,, >.„...
Xh^i, et ajoutons, en ayant égard aux équations (^',) : il
vient
__ ^ du xr ^ rw du U = X T- +Y-7- -f. Z -.- -f- etc.:
dx dy dz
370 LIVRE vu. CHAPITRK II.
c*est-à-(lire, que nous retombons sur U première des équations du système proposé, et Ton prouverait de même que toutes les autres équations sont vérifiées.
*^ a. De rintd^ation des équations non linéaires iln premier ordre ^
à trois variables.
532. La méthode exposée pour l'intégration des équations linéaires du premier ordre a été étendue par Lagrange aux équations quelconques du premier ordre, mais à trois variables seulement. Soit
une équation de cette forme , que nous différentieroDS successivement par rapport à chacune des variables indépendantes .X, /, en ayant égard à Féquation de con-
. dq dp ,. , .
dilion -7*- = -7- : Il viendrt'i (Ljc dy
" dz dx dp dx dq dj-^ f
^ dz dy dp dx dq dy'*
et si l'on y joint l'équation identique
df df df dz df dz , -.
^dp^^dq dpdx^dqdy' ^-^'^
on aura un système de trois équations entre les variables indépendantes x^j et les trois variables 3, /;, q^ considérées comme fonctions des deux autres : système de même forme que le système (A) du n** précédent. Ainsi l'intégration des trois équations aux différences partielles {^f^ et ( /j) dépend de celle des quatre équations différentielles ordinaires
ÉQUATIONS DU PRKMIKR ORDRK. 371
Vdp^^dq) ds ^dz df ^'>
On tire de ces quatre équations
df , df , df, df . df ,
ce qui doit être, puisque les variables .r, j-, z, p^ q sont liées par l'équation ( /*). Dès lors il suffira de prendre les trois équations {g) et {g^^ qui ne contiendront que les variables .r,^% 2, />, après qu'on y aura mis pour q sa valeur en jt, /, z^p^ tirée de l'équation ( /'). Si nous désignons leurs intégrales complètes par
^x{^xr^^>p)=^ry f,{^xr^z,p)=a^, h{^,r,z,p)=a^,{h)
le système {g) et {g^) aura pour intégrales générales l'équation proposée ( /'), combinée avec les suivantes
dans lesquelles 4>,, <^, entrent comme caractéristiques de fonctions arbitraires. Mais la généralité de cette solution doit être restreinte, en raison de ce que les fonctions p^q sont tenues de vérifier les équations aux différences partielles
dz dz
p-di' ^=^' .
ou l'équation aux différences totales
dz =pdx 4- qdy, (i)
533. Des équations (/*) et (Ji) on peut tirer les expressions de Xj^jt^Pj q en fonction de z, a^^a^^ «3 , ou de z, fi , f2, fa; et si Ton chasse j:,^, /;, q de l'équation (/), on aura la relation entre fj, fj, fa, à laquelle doivent satisfaire les équations (H), pour pouvoir être regardées comme des intégrales de l'équation proposée.
feactio]
379 tivuE vrr. — chapitrï ii.
Or, lorsque l'on considère x, j', p, q comme des' de z, f| , fi , f,, l'équation [i) devient
MaiSf en vc^rtu des équations {g), l'on a
■\:<-... \ (Ijc Jy
df <^ réduit réqualiou précédente à quand on pose, pour abréger.
df.
(Lr dy
■■ .,!■ ■■.-.ii.TirT',-.
ir
dq dy\
'dt.
A ~ df,
(dp dx dq dy\ df/'^'^df.'lh)' ou plus simplemeut , en vertu de l'équation {k),
</P, dp dx dq dy / dp dx dq df\
~^~^"^'^di'd{,~~\i^"^'^'^,'d£j''
et si nous substituons dans le second membre, pour
dx dy dp dq
dz dz dz dz
leurs valeurs données par les équations {g), (gf) et (gt),
en poiant^n outre, afin de simplifier l'écriture,
il viendra
ÉQUATIONS DV PREMIER ORDRE. 373 ~'= — ^^—,f^i^ ^^ ^^ ^f^^
dz~ dz P [jx^df, "^ d/df, "*" dp^dt, "^ dq'dtj
- ~ dz* V df,
ilais on a identiquement^^= o , après qu'on a substitué
lans /* pour .r,^, p^ q leurs valeurs en z, fi, f^^ fs,
[ui satisfont à la proposée : donc l'équation précédente
>e réduit à
j[ ^ I df^
P/ dz p-3J'
et par la même raison Ton a
— ^— i ^ L rfP, 1 df^ P/dz~ Vdz' P,"d^~ If'dz'
i'où, en intégrant et en désignant par Fi, F2, F3, des
fonctions de fi , f2 9 fa 9 qui ne contiennent plus z,
^A.1/a -A.?/c£. ^p.if^.
P.=F.iî-^^^ ,P,=F.^'^'*^ ,P,^F3éJ^'** •
En conséquence l'équation (/), équivalente à (/), se réluit, après la suppression du facteur commun, à
F/f, + F.rff,+F3rff3=o. . (n)
Lorsque les fonctions fj^ f2,f3 auront été déterminées par les équations (/t), les fonctions Pi , P2 9 P3 seront connues, en vertu des équations (772); et par la suppression du facteur commun en z^ dont on vient de démontrer l'existence , on connaîtra de même la composition des fonctions F,, F2 , F3 en f i , f2, fa. Cela posé, l'équation aux différentielles totales (n) s'intégrera toujours [5^4] par le système de deux équations renfermant une fonction arbitraire de l'une des quantités fi, f2, fg, et la dérivée de cette fonction arbitraire. On aura ainsi le système de toutes les intégrales particulières, ou l'intégrale générale de l'équation proposée.
