Mais on peut y arriver aussi d'une manière plus
■ IVRE VII. CHAl'lTRE II.
le : CI fet , l'équatioii f|^=ai est évideimnent uiv lution p. culière de l'équation («); la résoiiitioiidi cette équatiou, où Uj désigne uoe constante et fi uni onction comme de t,j-, z,p, donnera
et ensuite on aura , par l'équation { /),
es valeurs , substituées dans ta formule (i), rendront ie second membre une différentielle exacte, puisqu'ellf" doivent conduire a une solution de l'équation proposée. li donc on intègre par la méthode connue [SgS] l'équation
tlz = '9{x,x,z,a,). dr 4- ^J:,X,z,a , ) . dy, 1 obtient une équation de la fonne
E-i étant une autre constante introduite par la nouveilf intégration; et cette équation qui renferme deux cons-
ntes arbitraires, satisfait à l'intégrale proposée doiii
le est une intégrale particulière.
Donc l'équation
F(:c,j^/i,,ïfa,)=o, (tll
oîi mf est employé comme caractéristique de fonction arbitraire, est aussi une intégrale de la proposée, qui sf trouvera pareillement satisfaite si l'oit détermine a, en fenction de x, y, z par l'équation
Conséqaemment le système des équations (ci) et {rA') représente, à cause de la fonction arbitraire xj qn'il renferme, l'intégrale générale de la proposée; et l'on en déduira chaque intégrale particulière, par l'élimination de rzi entre ces deux équations, après qU'on aura particularisé la fonction arbitrah-e iS.
ÉQUATIONS DU PHEMIER OADRK. 375
Il est visible, quaod on se reporte à la théone de I enveloppement des surfaces [livre IV, chap. VIII], que l'équation (o) est celle des surfaces enveloppées qui ont la propriété de satisfaire à la proposée; tandis que les surfaces enveloppes qui y satisfont d'une manière plus générale, à cause de Tindétermination de la liaison établie entre les deux paramètres variables de l'enveloppée, sont représentées par le système des équations (xi) et
Les familles de surfaces, caractérisées par des équations aux différences partielles du premier ordre, à trois variables, se distribuent donc essentiellement en deux groupes. L'un se compose des surfaces dont l'équation différentielle caractéristique est linéaire par rapport aux coefBcients ^, ^ : en sorte que l'intégrale générale est donnée par une équation unique comprenant une fonction arbitraire, et que la surface est définie par le mouvement d'une ligne génératrice qui peut varier de forme en même temps qu'elle se déplace. L'autre groupe comprend les surfaces dont l'équation aux différences partielles n'est plus linéaire : d'où il résulte, d'une part, que l'intégrale générale est donnée par le système de deux équations où entrent à la fois la fonction arbitraire et sa dérivée; d'autre part, que les surfaces qu'elle représente peuvent être considérées comme autant d'enveloppes. Selon que les équations difPérentielles simultanées , à l'intégration desquelles on ramène celle de» 1 équation proposée aux différences partielles , ont ou n'ont pas d'intégrales algébriques, les lignes génératrices ou caractéristiques sont ou ne sont pas des courbes algébriques : mais cette circonstance accessoire . ne change rien à la distribution dont nous parlons.
535. Appliquons l'analyse qui précède à Téquatiou aux difTérences partielles
qui est [261] celle des surfaces-canaux, à section circulaire constante : l'équation (^i) devient pour ce cas
et, par sa combinaison avec la proposée,
dp R*dz
équation dont Tintégrale est
zV '
a' désignant la constante arbitraire. La proposée donne ensuite
et la formule (/) devient
<roîi, en intégrant et en désignant par p une nouvelle constante arbitraire ,
Si nous changeons de constantes, comme cela est permis, en posant
réquation précédente prendra la forme
et elle appartiendra au cylindre droit, qui fait fonction d'enveloppée développable pour les surfaces-canaux, à section circulaire constante.
)36. Il ne sera pas inutile d'indiquer quelques cas ticuliers oîi Ton peut arriver à l'intégrale plus rapitient qu'en suivant la méthode générale. Soit , par tmple ,
[uation proposée qui appartient à une femille de sures développables [i^S et 266], caractérisée par la me de la fonction donnée n : on a
dz = Uq.dx -f- qdjr^ m intégrant par parties ,
z = xTlq + qx —/{xll'q -f- y)dq.
ir que l'intégration indiquée soit possible, il faut
er
lors on a
z=xïlq + qy — cpy.
ic le système des équations
z = xTLoL 4- a/ — ça , xU'a -f. j =:tp'a, fermant l'indétenninée a, la fonction arbitraire (p et lérivée <p', représente l'intégrale générale de la proîe.
loit encore l'équation
pourra poser
dz^=f, {xy(i)dx •+• f , {x^0L)dx.
itégration par parties donne
nd OD pose , pour abréger,
X = //. (x,ayx, Y = /f . (7,a)rfr.
378 LIVRE VII. CHJU»ITIIB II.
Donc rÎDlégrale générale consiste dans le système des deux équations
ou f désigne une fonction arbitraire.
Enfin , si 1 on avait Téquation
sa forme indiquerait qu'elle admet pour intégrale particulière réquation
z=pe ^.,
a , p désignant des constantes arbitraires : donc Tiutégrale générale est donnée par le système
z=:<fa.e*"^*j o = (p'a + (x — ^JÇO-
537. Nous avons expose la méthode de Lagrange pour Tintégration des équations aux différences partielles du premier ordre , avec les perfectionnements qu'y a apportés M. Jacobi. Lorsque Féquation n'est pas linéaire par rapport aux différeuces partielles, et que le nombre des variables indépendantes surpasse deux, l'intégration générale de Féquation aux différences partielles se ramène encore, mais par des procédés plus compliqués, à celle d'un ou de plusieurs systèmes d'équations différentielles ordinaires. On peut consulter le mémoire de Pfaff dans le volume de l'Académie de Berlin pour i8i4j le Journal de mathématiques de M. Crelle, T. II et XIII, et celui de M. LiouviUe, T. III, où se trouvent consignées les récentes et belles recherches de M. Jacobi sur ce sujet important, qui sort du cadre des éléments.
D£ l'iN TEGRATION , EN TERMES FIN^S, DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES DES ORDRES SUPÉRIEURS,
A TROIS VARIABLF^. REMARQUES SUR LES INTEGRALES
SINGULIÈRES ET SUR LES INTEGRALES PARTIGULIERKS DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES.
5 1^*^. De l'int^atioD , en termes finis , des équations aux différences partielles da second ordre , à trois variables.
