ConsidéroDs d'abord réquaiion du second ordre
linéaire par rapport aux dérivées du second ordre r^Sj t: R, S, T, V désignant des fonctions quelconques des variables x^y^z et des dérivées p^q. L'élimination de r,^, au moyen des équations
dp = rdx -H sdyy dq = sdx + tdjr^ {a)
donne
Yidpdy + Tdqdx — ^dxdy = s (Rrfr» — Sda:dx + Tête») .
Posons séparément
Rdpdy + Tdqdx — Ydydx == o , (*)
Rdfj» Sdxdx + Tdx^ = o ; (c) joignons-y
dz =zpdx + qdjr ; (cQ
et admettons qu'on puisse satisfaire à ces trois équations entre les cinq variables Xy y^ Zy p, qy par des équations de la forme
380 LIVRE vu. CHAPITRE III.
réquation
satisfera à la proposée dont elle sera une intégrale du premier ordre; et, à cause de rîndétermination du signe ?, cette intégrale aura toute la généralité qu'elle comporte.
Pour établir cette proposition , mettons Téquation (c) sous la forme
et désignons par^'. Tune de ses racines : Téquation (b) devient
Ry . 4» -+- Tdg — V/, «& = o . (i.)
Les équations (e) ont pour dérivées
-da:+^^dr^-dz+^^dp^^dg=o, «/t; . di^ . df, . df, , df, ,
-d.+^^dr+^^dz+^^dp+^dç^o,
ou bien, en remplaçant ily T^av jr'jdx, et en chassant dz,dq^ au moyen des équations (d) et (^i),
Kf. . , <^f. / • . X df, Vr', df.l ^
/</f. Rj'. df,\
r^f, ,df,, , .df, Vr', df,
'fdf, R/. df,\
dx
.dp T dq^
Ces dernières équations doivent être identiques, puisque, par hypothèse, les équations (e) vérifient le système (è), (c), (^/); et ainsi l'on a séparément
ÉQUATIONS DES ORDIIES SUP^BIEURS. 381
<//> 1 ' dq~ autre part, l'équation ^/^ donne
œlle-ci , quand on y met pour
, </f. <ff. </f. </F,
rs valeurs tirées des équations (rf) et {e'\ devient posant, pour abréger,
nettons dans Téquation (g) pour dp^ dq leurs valeurs
es des équations {a)^ et nous aurons
> + Tj— V/. H-<^/.yj; + (Rjr>4- T^ 0)^7= o.
sque les variables x^y sont indépendantes, il &ut
3n ait séparément
/,/H-Tj— Vjr', + *y, = o, Ry,5 4-T^— <^ = o .
is de ià on conclut que l'équation [g) satisfait à la posée, quelle que soit la forme de la fonction f qui itre que dans ^; car, si Ion tire des équations préentes les valeurs de r,f en fonction de Sj pour les
