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382 LtTRJt vu. -^ cnkvrtMM «i.
substituer dans la proposée, ^ ctiq[Mnraît , et il resta
/(Ryi-Sr'.+T) = o,
équation identique , puisque jr'i désigne une racine de réquation (ci).
539. Pour éclaîrcir ce calcul par qilelqueii exemples, supposons d'abord que les coefficients B^SyT se réduisent à des constantes, et qu'oh ait Y =t o : les racines de îiquation (ci) seront aussi des nombres constants nig^nk^ en employant la première racine, on aura pour inté* grales des équations (c) et (b\
d'où l^on conclut que la proposée a pour intégrale première ". . ; . / '
Rut,/? + Tj ==:^, (/ — m^) .
L'einpioi de la racine ni% donnerait de même
A cause de la relation i7i|i77^qr=g^cea d^ux intégrale»
premières peuvent être mises sous la forme
et Ton en déduit
en posant , pour plus de simplicité ,
Si l'on substitué ces valeurs àep^q dans l'équation (rf), il vient
d'où, eu intégrant et en désignant par *^W les fonctions
ÉQUATIOlfS DES ORDRES SUPÉRIEURS. 383
qui ont pour dérivées les arbitraires 9 et — ^^
Les deux fonctions arbitraires qui entrent dans cette intégrale de la proposée, lui donnent toute la généralité quelle comporte.
Soit
la proposée devient
dV5 d*z ■ ^
et elle a pour intégrale complète
z=^{y — ax) + W{y+ax) . (2)*
Uéquation (i) qui exprime la loi des vibrations transversales d'une corde élastique, et celle de la propagation du son dans un tuyau cylindrique, est la première équation aux différences partielles dont on ait trouvé l'intégrale générale. Les recherches des géomètres , à propos de cette équation, sur laquelle nous reviendrons dans les chapitres suivants, ont fondé la physique mathématique, et créé une branche nouvelle de Tanalyse. Si le terme V n'était pas nul, et s'il renfermait seulement la variable indépendante x^ on serait conduit à ajouter aux premiers membres des équations (Ji) le terme
-— ~ JYdxy et à la place de l'équation {{) l'on aurait
2=^ j dx Ndx-\'^{X — ni^x)-{-W{y — rn^x) .
540. Cette analyse demande à être modifiée, dans le cas où le terme V contient à la fois les deux variables x^jr^ et dans celui où les racines mi^m^ sont égales; ce qui fait que les deux fonctions arbitraires ^,V'se confondent en une seule , et que la valeur de z n'a plus la
384 UVRE Vlî. — CHAPITRE III.
généralité requise. Considérons d'abord le premier cas : nous aurons pour Tune des intégrales premières
p+m^q—^jydx:==2:^
L'intégrale/T^ est prise dans l'hypothèse où Fou a dy — m^dx=zo^ doù / — m^=a,; en sorte qu'il faut d'abord substituer dans V cette valeur de^, intégrer ensuite par rapport à x, puis remettre pour oLi sa valeur^ — mix; ce qui doune
/* étant une fonction connue, qui se tire de V par une simple quadrature.
La valeur de /?, substituée dans {d) ^ donnera donc
dz-=.q{dy — m^dx) -^/{x^ — iw^).rfr 4-9(7 — mjx).dxj équation qui s'intégrera si l'on peut intégrer conjointement les deux équations différentielles ordinaires
djr — m^dx=:20 ,
dzz=z[f{x,jr^m,x) +9(7— m.jf)] dx .
La première donne
au moyen de quoi la seconde devient dz=i \ f [x^ a, 4- {pi^ — Tn,)x] -»-cp[a, 4-(/w, — m,)x] \ dx^ (/) et elle a pour intégrale
^ — F(a:,aJ — 0[a, + (m, — /wja:]=p, , (m) P2 désignant une constante arbitraire, O une fonction arbitraire, et F une fonction connue, qui se tire de /au moyen d'une quadrature. L'intégrale de la proposée sera ^2 = ^02,011 il faudra substituer pour an, 82 leurs valeurs fournies par (A'),(w) : or, cette substitution donne z — Y {x, y—m^x)+^{j—m,x) + ^' [^y—m^x) .
léQUATlONS DES ORDRKS SUPJ^RIKURS. 385
541. Passons au cas d'ëgalité des racines. mi, m^^ et, )Our simplifier, prenons V=o : on a, en supprimant les ndices qui deviennent inutiles ,^ — mx=-oLj dy^zmcLc, p-4-/w^=ç(/ — mx) = <fa^ et l'équation (d) devient
ilzr=i(^oL » dx , d'oùjz — 47çpa=P;
en sorte que la relation p=|a donne pour l'intégrale
z = a:<f{x — ma:)'\r^{jr — mx); (n)
et comme les fonctions arbitraires 9, ^ ne se confondent plus, cette intégrale a la généralité requise. Ceci s'applique à l'équation [^Si]
B»r — 2 ABj + AY = o ,
qui est celle des surfaces réglées dont la génératrice reste constamment parallèle à un plan directeur Ai;-|-B^t=:o : on a pour l'intégrale complète ztssiX(f (Aj: 4- Bjr) + 4* (A^ + Bj) • Les mêmes surfaces ont pour équations aux différences partielles, quand le plan directeur est celui des^^'*,
yV — 2pqs +p*t == o .
Les équations (c) et (Jj) deviennent alors
pdx 4- qdy ^=dz = o , qdp — pdq = o :
on a, en les intégrant, ,3=a,/7=:Py ; ce qui donne pour intégrale première de la proposée pz=q^z. Afin de passer à l'intégrale seconde, on substitue cette valeur de p daus l'équation {d)y et il vient
dz = q (çp^ . dx + djr) , formule dont l'intégration se ramène à celle des équations différentielles ordinaires
^/s ï= o , fz ^ dx + df = 0 .
Mais celles-ci ont pour intégrales s=a, ,.r?a,-|-/=fi,; ce qui donne pour l'intégrale seconde de la proposée,
38G . LIVRE vu. CHAPITRE IH.
542. Enfin nous avons trouvé [i%5o] pour réquation aux différences partielles qui caractérise Tordre des surfaces réglées à directrices rectilignes^
x^r -+- 7,xys +yt == o ,
Les équations (c) et (è) deviennent^ dans ce cas,
. xdjr — ydx =. o , xdp + jrdq = o ,
et elles ont pour intégrales^ = ux, ^-j-ay = p, d'où l'on tire
pour l'intégrale première de la proposée. En substituant, comme à l'ordinaire, la valeur dep dans l'équation (e/), on a
dj!; = ^(-j . dx + q (dy—^-dx J î ce qui conduit à intégrer les équations différentielles xdjr — j-dx = o, dz — '^(-) • ^^ = o .
L'intégration donne j'=cliX^z — ^(pai:=pi ; et l'on trouve, en conséquence, pour l'intégrale seconde de la proposée,
On peut remarquer l'analogie de forme des équations (/?), (p)^(/))^ qui toutes trois rentrent dans le cas d'égalité des racines de l'équation (6*^).
543. La méthode exposée ci-dessus, d'après Mongc, et dont nous venons de faire diverses applications, tombe en défaut lorsque le système des équations (^),(^), (^/j, dans lesquelles entrent, en général, les cinq variables .r, )\ r? y>, //, et qu'on ramène par l'élimination à une équation différentielle entre trois variables, ne satisfait pas aux conditions d'intégrabilité. Soit, par exemple,
