Cm"— 4- +G/M4-H=o. [r

'. Donc on pourra prendre, à cause de la forine linéaire > de la proposée,

' f,jif,...<f„ étant emptoyëes comme caractéristiques de , fonctions arbitraires distinctes. On s'assurerait d'ailleuis que celte valeur de 3 a toute la généralité que peut comporter l'intégrale de l'équation proposée. t 545. Il n'en serait plus de incm<^ si l'équation (() avait des racines égales, par exemple, w,=^«a, carf'^rs les deux fonctions ip,, ^^ se confondraient en une seule: ' mais si l'on pose dans ce cas

t = if,{y + m,x)+a^t(y + m,x) , on a

rf"2

en sorte que la substitution daasla proposée donne [ Am,"4-Bni,"-'r4- .... +Got.+ H] [?/"'+«¥,'"'] + [A»«rt,"-"+B(«—i )«,"-•+ ....+H]ç.t'*-''=o; et il devient évident que cette valeur de z satisfait à b proposée, puisque, par hypotbèse, m, est une racine dobbt^e de l'équation (r). Donc on peut prendre dans ce cas

le nombre des fonctions arbitraires disUuctes restant égal à n.

REMARQUES SUR LES inT^GRALES SINGULIERES. 989.

§ 3. Remarques sur les intégrales singulières et sur les intégrales particulières des équations aux différences partielles.

546. Considérons une équation aux diCTérences partielles du premier ordre

délivrée de radicaux et de dénominateurs : et soit

une solution de cette équation , dans laquelle n'entre pas de fonction arbitraire, et qui peut être, ou une intégrale particulière, ou une intégrale singulière. Si c'est une intégrale particulière, il sera permis de représenter l'intégrale générale par

<f désignant une fonction de x,jr^ e, qui ne s'évanouit ni ne devient infinie quand on y faite=o [477]- En substituant dans la proposée, on trouve, pour déterminer la partie de f indépendante de la constante e , l'équation

"f dz^dp dx^dç dx~ ' ^^'^

dans laquelle les différences partielles

dz dp dq se rapportent à la valeur ze^fiXfj-). D'ailleurs on peut s'assurer que la partie de<p indépendante de e doit renfermer le même nombre de fonctions arbitraires que la valeur complète de 9; en sorte que la considération de cette partie de 9 suffit pour reconnaître la nature de la solution (f).

Cela posé, si la valeur z=:f(x,^) donne

I3!«l Mvue VI

sans qu'il en résulte

on ne peut satisfiiirc à l'équation (ç,) qu'en preiiani (p=o; de sorte que la solution (f), n'étant pas susceptible (le se compléter comme l'indique l'équation (ç), constitue une intégrale singulière de la proposée.

Ainsi la recliprclie des intégrales singulières consislf à déterminer les valeurs de s en x , y, qui satisfont ii la fois aux équations ( /") et (/>, q,\ en éliminant/), y entre ces mêmes équations. Il faut, de plus, s'assurer que ces valeurs de s ne vérifient pas l'équation [z].

Appliquons ceci à l'équation des surfaces-canaux

on aura pour les équations {p, y), 5'j[>=o, s^y^o. On ne pent pas en tirer s=^o, car la proposée ne sérail pas satisfaite , et au contraire l'équation ( c ) serait vérifiée; mais les solutions p^o, q^o, conduisent à l'intégrale singulière z' — R'^o.