HKMARQUKS SUR LES INTÉGRALES SINGULIERES
renfermer qu'une fonction arbitraire : en sorte que la solution ( f ) , n'étant pas susceptible de se compléter par l'adjonction de deux fonctions arbitraires , comme le requiert l'ordre de l'équation proposée , ne serait qu'une valeur particulière provenant de l'intégration d'une solution singulière du premier ordre.
On conclut de là que, si l'on trouve une équation du premier ordre qui satisfasse à la fois à la proposée et aux équations (r, s, t), cette équation sera une intégrale singulière du premier ordre.
Soit donnée, par exemple, l'équation du second ordre
r' — (2ry-jr)(/^— ;|^)=o, (3)
qui ne contient, ni Sj ni / : le système des équations (r, Sft)se réduit à
On satisfait à cette équation , ainsi qu'à la proposée , en
faisant
équation du premier ordre, qui a pour intégrale
z=(i-ha:)cp/,
<p désignant une fonction arbitraire. Par conséquent cette dernière équation est une intégrale singulière de la proposée.
548. On peut aussi, dans certains cas, assigner des intégrales particulières à des équations aux différences partielles dont les intégrales générales ne sont pas connues, ou même ne pourraient exister sous forme finie; et les intégrales ainsi obtenues , quoiqu'elles n'aient pas toute la généralité requise pour la solution analytique ,
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peuvent résoudre avec une généralité suffisante te problème qui a conduit à l'équation aux différences partielles. Admettons que cette équation soit du second ordre, de la forme ({p^ q^r^Sj ^)=o, de manière qu'elle ne contienne point les variables x^jr^ z\ et supposonsla en outre homogène en r^s^t: malgré ces restrictions, elle ne pourra s'intégrer généralement que pour de certaines formes de la fonction f ; mais si , parmi toutes les surfaces susceptibles de satisfaire à cette équation , on n'a en vue que les surfaces développables pour lesquelles pz=zUq^ on pourra poser
en sorte qu'après la substitution de ces valeurs de s tt de r dans la proposée , qui est homogène en r, j, ty la dérivée t s'en ira. Il restera une équation différentielle
ordinaire en ^ , ÎI^ , U^q , ou ^ , ^ , -^, par laquelle on
déterminera la fonction n avec une constante arbitraire. L'équation /7=iiy étant ensuite intégrée, donnera une équation primitive avec une fonction arbitraire, laquelle équation primitive caractérisera une famille de surfaces développables, jouissant de la propriété exprimée parla proposée.
Par exemple , l'équation du second ordre
qui appartient aux surfaces pour lesquelles les deux courbures principales sont égales et de sens contraires [281], et dont l'aire est un minimum entre des limites données [Sgi], ne comprend que les dérivées du premier et du second ordre, et elle est homogène en r, Sj t. Si donc l'on cherche quelles sont, parmi ces surfaces,
KBBfARQUES SUR LES HfTÉORALES SINGULIÈRBS. 393
celles qui peuvent se développer sur un plan , on sera conduit à Téquation
( I ^- q*)dp* — ^pqdpdq'\'{ i "+-/?•) dq* î=:o . (4) Pour Tintegrer, on fera/? = /7i^-[-/i, m, /i désignant des constantes, et il viendra i -f-m*-i-/i"=o, ce qui donne
D'ailleurs les équations />== a, ^=6 satisfont aussi à
l'équation (4) ^^ conduisent à Téquation générale du
plan
z^=aX'\'by'\'C . (6)
En appliquante l'équation (5) le procédé du n^ 536, on obtient une intégrale exprimée par le système
^=(7-f-i?ïar)a-f.a?(i^m*)T i/^ — 9a, ( , v
Mais il est impossible d'en tirer un résultat réel à moins de poser i-[-m*=o, ça= c,a — c, et alors on a simplement z=iC : solution moins générale que celle qui est donnée par l'équation (6), quoiqu'en apparence le système (7) ait une généralité plus grande, à cause de la présence du signe de fonction arbitraire <p. Au reste, puisque les surfaces développables ont l'une de leurs courbures principales nulle, il est bien évident que l'autre doit ^'évanouir aussi , pour satisfaire à l'une des propriétés géométriques exprimées par l'équation proposée ; et qu'ainsi le plan seul, parmi les surfaces développables, peut fournir une solution réelle de cette équation.
