CHAPITRE II

DR LA CLASSIFICATION DES FONCTIONS ET DE LEUR DlèVELOPPEMEKT EN SERIES.

12. Les fonctions mathématiques se distinguent en fonctions explicites et en fonctions implicites. On appelle fonctions implicites celles qui sont déterminées par une équation non résolue entre la fonction et la variable indépendante. Ainsi la fonction^ donnée par l'une des équations

y* — bxy==-a^by + c^rnlog a:, tang^==^sinx,etc., est une fonction implicite de x. Si ces équations étaient résolues par rapporta/ et mises sous la forme j- z=.fxj j deviendrait une fonction explicite de la même variable.

On peut comprendre les fonctions explicites et implicites sous la même notation , en exprimant par une équation de la forme

F(:t;,/)=o, (i) la liaison qui subsiste entre la variable x et la fonction y.

Les fonctions mathématiques, qu'elles soient explicites ou implicites, se distinguent encore en fonctions algébriques et en fonctions transcendantes. Si l'équation (i) est algébrique, en sorte qu'après l'évanouissement toujours possible des dénominateurs et des radicaux, le premier membre soit un polynôme entier de degré déterminé par rapport à a? et par rapport à jr, la

fonclion y est réputée algébrique. Si les variables J?, y y ou seulement Tune d'entre elles, entraient dans la formation d'un exposant, ou si elles se trouvaient affectées , soit d'un exposant irrationnel, soit du signe logy soit de l'un des signes usités en trigonométrie, la fonction serait qualifiée de transcendante. Plus généralement, toute fonction mathématique qui ne se trouve pas comprise dans la définition des fonctions algébriques est réputée transcendante. Les seules fonctions transcendantes que le lecteur soit censé connaître, savoir, les fonctions exponentielles, logarithmiques et trigonométriques , ont été successivement définies dans le cours de mathématiques élémentaires. Ces fonctions sont-elles en effet les plus simples de toutes après les fonctions algébriques élémentaires? Sont-elles réductibles ou irréductibles entre elles? Y a-t-il entre elles quelque lien, malgré leur diversité apparente d'origine? Toutes ces questions sont du ressort de la théorie qui doit nous occuper ; et en même temps que fious étudierons sous un point de vue nouveau les fonctions transcendantes déjà définies dans les éléments, nous serons amenés à en considérer d'autres en nombre illimité, à les définir, à les classer, et à désigner celles de ces fonctions qui ont acquis le plus d'importance, par des notations ou par des caractéristiques particulières.

13. Puisque les équations algébriques, de degré supérieur au quatrième, sont en général irrésolubles algébriquement, et qu'ainsi la valeur de y en x^ quand l'équation (j) est, par rapport à /, d'un degré supérieur j au quatrième, ne peut pas, en général, s'exprimer avec I les radicaux et les autres signes élémentaires de l'algèi J)re, il semble qjj'on pourrait regarder la racine d'une