I>£ LA CLASSIFICATION DES FONCTIONS

telle équation comme une fonction transcendante, aussi ( bien que les exponentielles et les logarithmes. Mais Leib-| nitz^ à qui Ton doit la distinction des fonctions algé-/ briques et des fonctions transcendantes, n^ajtûinLiiûXn-' miscettemëprise. En effet, la circonstance qu'une équation ' algébrique entre^ et x soit ou ne soit pas résoluble algébriquement par rapport à y, n'influe nullement sur . le nombre y sur les conditions de réalité ou d'imagina-i rite des racines, ni, par suite, sur 'la forme qu'affecte la, courbe dont .r et^ sont les coordonnées <» sur le nombre de ses branches et sur les autres particularités de son cours. Tout ceci se rattache à la théorie de la compo* sitioo des équations algébriques, laquelle n'est point sabordonnée à leur résolution algébrique , et en vertu de j laquelle les fonctions algébriques, tant explicites qu'im-! plicites, jouissent de propriétés communes qu'elles nei partagent pas avec celles auxquelles on a réservé avec juste raison la qualification de transcendantes. t

14. I^s fonctions algébriques explicites se distinguent en fonctions entières et fractionnaires ^ rationnelles et irrationnelles : le sens de ces expressions est donné dans tous les traités d'algèbre. A l'égard des fonctions algébriques implicites, comme on peut toujours préparer les équations dont elles sont les racines de manière à &ire disparaître les dénominateurs et les radicaux, cette , division serait sans objet.

Les plus simples des fonctions rationnelles entières sont celles qui ne contiennent que la première puissance i?la variable, et qu'on peut représenter généralement sar

y= ax + é,

"et b désignant des nombres constants. L'usage leur a

conservé la dénomination de fonctions linéaires^ tirée de ce que Téquation précédente est celle d*une ligne droite, pour un système de coordonnées parallèles à deux axes fixes.

Les fonctions rationnelles entières ne peuvent devenir infinies pour aucune valeur finie de la variable dont elles dépendent. De plus, il est évident qu'à toutes les valeurs de la variable correspond pour ces fonctions une valeur réelle et unique , positive ou négative. Il suit de là que si Ton représente une fonction rationnelle et entière par l'ordonnée d^une courbe dont Tautre variable est l'abscisse , cette courbe à une seule branche s'étend indéfiniment, tant dans le sens des abscisses négatives que dans le sens des abscisses positives, sans éprouver nulle part de solution de continuité.

15. Les fonctions fractionnaires, où la variable entre dans la composition d'un ou de plusieurs dénominateurs, peuvent devenir infinies, et par conséquent éprouver une^ohU^Qn. de continuité pour les valeurs finies de la variable qui font évanouir un dénominateur.

Les fonctions irrationnelles , même entières , subissent des solutions de continuité, et la courbe qui les représente s'interrompt brusquement quand la valeur de la variable, affectée d'un signe radical, rend le radical imaginaire. Ainsi la fonction

^=:.r+ \/\ — X cessera d'avoir des valeurs réelles pour les valeurs de X > I, et sera représentée graphiquement dans un système de coordonnées orthogonales par l'ordonnée de l'arc parabolique ML {^fig* 4)? q^î s'étend indéfiniment dans le sens des abscisses négatives , et qui s'interrompt brusquement au point L, dont l'abscisse 0P= f.

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De même la fonction

sera représentée par l'ordonnée de la branche d'hyperbole LMN (j^^. 5), si l'on a OA = a < i,et, dans ce cas, elle n'éprouvera aucune solution de continuité. La même fonction correspondra à l'ordonnée des arcs hyperboliques PQ, RS, si l'on a a > i; auquel cas il y aura solution de continuité aux points Q , R. Enfin , il faudra prendre, pour représenter la même fonction , l'ordonnée delà ligne brisée BAC , si l'on a a= i : car/ devant rester positif y la fonction proposée deviendra dans ce cas

pour les valeurs de :i: < i , et

y=ix — I pour les valeurs à& x > i . Ce changement dans l'expression algébrique de la fonction correspond à une solution de continuité dont nous définirons plus loin, d'une manière générale, les caractères analytique et géométrique, et qui est d'un autre ordre que les solutions de continuité éprouvées par l'ordonnée des arcs hyperboliques PQ , RS j aux points Q et R.

16. A la vérité y si l'on considère à la fois les deux valeurs réelles dont un radical pair est susceptible, on aara deux branches ou deux arcs de courbe qui viendront se raccorder aux points dont l'abscisse correspond au passage du réel à l'imaginaire ; et ainsi il n'y aura plus géométriquement de solution de continuité : car on •le doit entendre par solutions de continuité » dans le sens géométrique, que celles qui sont indépendantes de la -irection arbitraire des axes auxquels on rapporte la ourbe.

On conclut de là que, pour avoir l'expression com-

plète d'une courbe par une équation algébrique entre ses coordonnées , il faut débarrasser cette équation des radicaux , ou conserver tous les doubles signes inhérents à chaque radical pair. C'est là le fondement de la correspondance entre l'algèbre et la géométrie , dont nous reparlerons lorsqu'il sera question plus spécialement des applications de l'analyse à la théorie des courbes.

Au contraire, les courbes transcendantes, ou celles dont l'ordonnée est une fonction transcendante de l'abscisse , peuvent être interrompues brusquement dans leur cours sans que leurs branches se rejoignent; en sorte que le point qui décrirait par son mouvement une des branches de la courbe , s'arrêterait tout à coup. Ainsi la courbe qui a pour équation

^ 4- I =a * ' a désignant un nombre positif plus grand que i, est formée de deux branches BL, MN (^. 6), dont la première a pour asymptote, dans le sens des abscisses positives , l'axe même des x, et s'arrête brusquement au point B , dont les coordonnées sont x = o , ^ = — i ; tandis que la seconde branche a pour asymptotes l'axe des jr dans le sens des ^positifs, et l'axe des x dans le sens des jc négatifs. En effet, tant que x est positif, la fonctioa

a' va en décroissant indéfiniment pour des valeurs de x de plus en plus petites, et finalement s'évanouit avec .r, tandis qu'elle tend à devenir égale à l'unité pour des valeurs de X de plus en plus grandes. Au contraire, lorsque X passe par des valeurs négatives, la même fonction croît au delà de toutes limites pour des valeurs numéri-*