Si l'on a en même temps

de sorte que la valeur de^ dépende immédiatement de celle de x^ et que la valeur de x dépende immédiatement de celle de t, la valeur de^ se trouvera dépendre médiatement de la valeur de t: ce sera, comme on dit, une Jonction de fonctionnons pour parler un lan-

gage plus simple, une fonction médiate de la variable t. Les exemples de cette dépendance médiate et indirecte sont trop fréquents en mathématiques pures comme en physique pour que nous ayons besoin d'y insister. Elle s'exprimerait par la notation

Il se pourrait aussi que l'on eût

d'où

Alors, quoique^ se trouvât dépendre en apparence de deux variables x, z, elle ne dépendrait réellement que d'une seule variable t dont il suffirait d'assigner la valeur pour déterminer x, z, et par suite ^. Réciproquement, étant donnée une équation

il peut être avantageux de la remplacer par le système équivalent des trois équations (5), en introduisant deux variables intermédiaires x, z, qui prennent alors communément le nom de variables auxiliaires.

11. Le terme de fonction implique l'îdée d'une variable dépendante d'une autre. Dans les exemples cidessus ,jr^ Xj zsont donc des variables dépendantes, et par opposition t peut être qualifié de variable indépendoute. Au point de vue abstrait, il serait tout aussi permis de regarder j^* comme la variable indépendante, et Xy Zy t comme des fonctions qui en dépendent médiatement ou immédiatement, puisque, si l'on assigne d'abord arbitrairement une valeur à y^ celles de ;r, 2, t seront déterminées en vertu des équations (4) ou (5). C'est ainsi qu'étant donnée une équation en x^ y, il est aussi permis de la concevoir résolue par rapport à x

que par rapport à ^. On peut donc dire en ce sens que le choix de la variable indépendante est arbitraire ; mais ceci cesse le plus souvent d'être vrai lorsque l'on envisage un problème d'après ses données concrètes. La nature des grandeurs qui varient simultanément éta* blit entre elles des relations telles que les variations des unes doivent être considérées comme subordonnées aux variations des autres; et celles-là seulement dont les va* riations ne sont subordonnées à celles d'aucune autre^ doivent être essentiellement qualifiées de variables indépendantes.

Ainsi j dans là question de mécanique déjà plusieurs fois indiquée, il convient de considérer l'angle d'écart d'un pendule comme une fonction du temps t écoulé depuis l'origine du mouvement, et ^ comme la variable indépendante; et il répugnerait au contraire d'envisager /comme une fonction de l'angle 6 pris pour variable indépendante; parce qu'il est évident que le temps s'écoule ou que i varie indépendamment du mouvement du pendule, et au contraire que les variations de 0 dé-* pendent du temps écoulé, ou sont subordonnées aux variations de t.

En général, pour toutes les grandeurs qui varient avec le temps, et à cause du temps écouljé depuis un instant pris pour origine, le temps remplit^' par la na* ture même des choses^ le rôle d'une variable essentiellement indépendante, en ce sens que ses variations ne sont subordonnées à celles d'aucune autre grandeur. Nous aurons lieu, par la suite, de revenir sur les conséquences de ce principe , et d'insister sur les propriétés générales des grandeurs, en tant que fonctions du temps : propriétés dont la discussion nous semble appartenir

auimathéiaaticioes pures, au même litre que les spéculations qui ont: pour objet les propriétés de l'étendue et les formes géométriques.

La reuiarcjixe que Ton vient de faire a lieu pour la variable ty coinptée d'une origine arbitraire, et servant à déterminer l*époque d'un phénomène, ou, plus précisément, Viiistaut où une certaine grandeur atteint une valeur déterminée. Si, au contraire, la variable t mesurait la durée absolue d'un phénomène, elle pourrait jouer \e rôle de variable dépendante. Ainsi, la durée de VosciUation d'un pendule est une fonction de l'angle initial d'écart , désigné ci-dessus par 6^. C'est la grandeur de cet angle qui détermine la durée de l'oscillation; ou, en d'autres termes, nous concevons la variation de la durée comme une conséquence de la variation de l'angle inîtial, et non la variation de l'angle comme subordonnée à la variation de la durée.

Des considérations analogues s'appliquent aux coordonnées variables par le moyen desquelles on détermine la position d'un point sur une ligne donnée , sur une surface donnée , ou dans l'espace. La grandeur que l'on envisage comme variable, non plus d'un instant à l'autre, mais d'un lieu à l'autre, est une fonction des coordonnées variables du point où elle est censée mesurée ; et les coordonnées indépendantes sont évidemment au nombre de trois , si le point peut se déplacer d'une manière quelconque dans l'espace ; au nombre de deux , si le point est assujetti à rester sur une surface donnée ; entîu, il n'y en a plus qu'une seule, si le point est assujetti à rester sur une ligne donnée. Toutefois, il faut remarquer que le choix d'un système de coordonnées est arbitraire : de sorte que rien n'empêcherait de considc*

rer les coordonnées Xy y^ z qui déterminent la position d'un point dans l'espace, comme fonctions d'auti^es coordonnées w, (^,(v, prises dans un autre système. L'indépendance des variables x^ y y z ne tient donc pas à leur nature , mais au choix arbitraire qu'on en a fait pour servir de coordonnées , tandis que l'indépendance de la variable t^ qui représente le temps écoulé depuis un instant pris pour origine , tient à l'essence de cette grandeur. Ces analogies et ces différences sont des conséquences immédiates des analogies €t des différences que présentent les concepts fondamentaux du temps et de l'espace.

Nous ne voulons pas dire, par ce qui précède, que , dans certaines questions de physique, telles coordonnées ne soient pas indiquées de préférence à toutes autres , par la nature spéciale de la question : l'attention des analystes doit s'appliquer à saisir de semblables indications; car, en général, la solution d'un problème a atteint sa perfection quand on a lié par l'analyse les variables entre elles, conformément à l'ordre de leur dépendance naturelle. De même, en géométrie pure , le mode de génération d'une ligne ou d'une surface indique les coordonnées qu'il est convenable et naturel de prendre pour variables indépendantes , et dont le choix facilite la discussion des propriétés de la ligne ou de la surface.