Prenons, pour faire une dernière application

l'équation de la spirale logarithmique [i8i],r = e*? : la formule (p^) donnera , pour la valeur numérique du rayon de courbure , p = r l/i+m». Mais nous savons que dans cette courbe la normale forme avec le rayon vecteur un angle constant a ^ qui a pour tangente — m : donc r == p cos a ; en sorte que le centre de courbure est l'intersection de la normale avec la perpendiculaire élevée de l'origine sur le rayon vecteur.

Donc la tangente de la développée, qui n'est autre que la normale à la développante , fait un angle constant avec le rayon vecteur de cette même développée, et un angle égal à celui qui est formé par la tangente et par le rayon vecteur de la spirale développante. Donc la développée est la même courbe que la développante, rapportée au même pôle; de telle sorte que la seconde^ en décrivant autour du pôle commun un arc de rotation d'une amplitude convenable, viendrait se superposer à la première.

* %i. Notions sur les caustiques.

200. La théorie des courbes enveloppes, restreinte au cas oïl les enveloppées sont des lignes droites, offre encore une application curieuse, et qui se lie trop naturellement à la théorie des développées pour que nous la passions tout à fait sous silence. On peut supposer effectivement que les droites enveloppées , au lieu de rester normales à une courbe donnée MN (fig, 55), sont assujetties à la condition de faire avec les normales mn un angle rmn tel que l'on ait

sin rmn = k sin Ymn , k étant une constante donnée, et F un point donné de position dans le plan de la courbe. Les principes

iroTioirs stJA lss caustiques. 351

de l'optique nous apprennent que, si MN est la trace d'une surface cylindrique qui sépare deux milieux inégalement réfringents 9 et dont les génératrices soient perpendiculaires au plan de la courbe, les rayons émanés du foyer lumineux F et dirigés suivant Fm, se réfracteront suivant mr, A* désignant l'indice de réfraction qui se rapporte au passage d'un milieu dans l'autre. L enveloppe de toutes les droites mr, lorsqu'elle se trouvera sur le trajet de la lumière, pourra se dessiner sur le plan de la courbe comme une trace lumineuse, à cause que les points situés près de l'enveloppe, où convergent des rayons sensiblement parallèles, recevront plus de lumière que les autres points du plan. On donne à cette enveloppe le nom de caustique par réfraction. Si la constante k devenait nulle, la caustique coïnciderait avec la développée; si l'on prenait kz=z — i, la réfraction se changerait en réflexion , et la courbe enveloppe prendrait le nom de caustique par réflexion. Les caustiques changent, pour la même courbe MN et pour la même valeur de la constante ^, avec la position du point F; quand ce point s'éloigne à l'infini, ou que les rayons incidents deviennent parallèles, on obtient des courbes auxquelles on peut donner le nom de caustiques principales.

Soient a, p les coordonnées du point F parallèlement aux axes des x et des^; Ç,yi celles d'un point quelconque du rayon réfracté en m; x^y celles du point d'incidence m pris sur la courbe réfringente

^)X', les angles que le rayon incident et le rayon réfracté font avec les x positifs : les cosinus des angles que ces niêmes rayons font avec la tangente à la courbe auront

352 LIVRE JV. CHAPITRE ÏII.

pour valeurs

cos A --. 4- sin X -r- , cos X -j- -f- siiiX' -y- 5 as as as as

et ils seront aussi respectivemeut égaux à db siu Fmn\

± sin rmriy en sorte qu'on aura

cos y/dx -I- sin X'flfr =k( cos Xfltr + sin Idy) . (9)

Posons, pour abréger,

p=l/(^«)'+Cr p)' , p'-=V/(5-x)*-»-(7i-7)* :

il viendra

- jc-^tt . . r — 6 - Ç — X . ., 71 — -r.

cosX=^ , sin A=i=:'^^ — !-; cosX == — 7-, sinX'=-î-7^ ♦

Telle est en Ç, yi l'équation du rayon réfracté, ou de la droite enveloppée qui correspond au point (XjT*) sur la courbe réfringente (^f). Si l'on différentie cette équation par rapport à a:, en y considérant /,^' comme des fonctions implicites de x, et si l'on élimine Xyjr^y\y^ entre l'équation (10) et sa dérivée, l'équation {J^ et ses dérivées des deux premiers ordres, on aura en Ç,yi l'équation de l'enveloppe ou de la caustique.

201. Quand on considère dans l'équation (10) les coordonnées ^,y) comme des constantes données, elle prend la forme

dx ~''' et elle exprime que la fonction p'-["^P acquiert une valeur maximum ou minimum; de sorte que, si l'on mène à un point quelconque de la courbe, autre que m, les droites Y m^^rm^y on aura constamment

rm, -f- k . Fw, > ou < r/n-h ^ . F/w ;