NOTIONS SUR LES CAUSTIQUES

mais évidemment le premier membre de cette inégalité ne comporte pas de maximum, et par conséquent l'équation (lo) établit l'existence d'un minimum [ga].

Lorsque l'on considère au contraire ^^y) comme les coordonnées courantes de l'enveloppe à laquelle chaque droite enveloppée est tangente, on a, par la définition de l'angle \\

, dri d\ . ., rf?) -, , .

ung X =;jr, ou y- sm a — -j-i cos X =o. (ii)

Déplus, si l'on difFérentie les équations

par rapport à la variable indépendante .r, et qu'on substitue dans le résultat pour x — a, 7 — p, Ç — ar, yi—;;^ leurs valeurs pcosX, psinX., p'cosV, p'sinX.', il vient

^ =z:.cos X -\-y' sin X ,

doii, en vertu de l'équation (9),

do' j dû di yf , dfi ' ^, / X

-/--h* -r = -7-cosA'^- ysmX' . (m)

dx dx dx dx ^ '

Élevons au carré les deux membres des équations (11), (ra), pour eu prendre ensuite la somme, et désignons par^ la différentielle de l'arc de la caustique, nous aurons la formule

dx^ \d.x dx) dx \dx dx) '

analogue à celle qui a été trouvée [191] pour les développées, et de laquelle nous tirerons

<^.-<T.=dz[pV— p'„+*(p. — Pc)] :

do, p^, p'^; <r,, pi? p'x désignant deux systèmes de valeurs des grandeurs <r, p, p', pour des points qui se corres- T. I. a3

pondent sur la courbe réfringente et sur sa caustique.

202. Afin de donner une application de ces formules, admettons que la ligne réfringente soit une droite que nous prendrons pour axe des x : le point rayonnant sera placé sur l'axe des j\ et par ce moyen , l'équation (lo) deviendra

d'où

— -• >/p'+(i— *>'=±*vï . (i3)

L'équation en Ç,» doit résulter de l'élimination de x

entre cette dernière équation et sa dérivée par rapport

à x^ qui est

Çp' + (i-*')^=o> (i4)

et d'où l'on tire

(ï-^)p» = ar[p'+(i*')^-]. (i5)

La comparaison des équations (i3) et (i5) donne

[p'+(i-*')x']î=:pip'»,, ou

P'+{i-k')a:'=ikp\)i; (i6)

et si maintenant on élimine x entre les équations (i4) 9 (16), il vient

pl+(ï/7=F.Ç)î=(^)î, équation de la développée d'une section conique qui a son centre à l'origine et son foyer au point rayonnant.

§ 3. Théorie des contacts des divers ordres entre les lignes planes.