Reprenons l'équation de la cycloïde

j; = R arc cos — ^-^ dt ly^nKjr—^* ,

nous avons trouvé [177] :

d'où

Il résulte du rapprochement de cette formule avec l'équation (A') du n^ cité, que le rayon de courbure de la cycloïde est double de la normale.

Ceci nous conduit à démontrer une propriété bien remarquable de la cycloïde : celle d'avoir pour développée une autre cycloïde de mêmes dimensions, placée au-dessous de la cycloïde développante , ainsi que l'indique Isijig, 54.

Menons en effet une droite indéfinie ÇÇ' parallèle à XX', et à une distance de celle-ci égale au diamètre du

]>BS DEVELOPPliES ET DES RAYOJ!(S DE COURBURE. 349

cercle générateur de la cycloïde développante Omq, Ce cercle étant représenté dans la position nmn!^ construisons le cercle symétrique /zp : le point d'inter-f section (x. de ce cercle avec la droite mn prolongée est, d'après ce qu'on vient de démontrer, le centre de courbure de la cycloïde développante. La distance On est égale à l'arc mn^ et la distance O^ est égale à la demi* circonférence du cercle générateur. Donc l'arc w/i', ou l'arc p qui lui est égal, a la même longueur que la droite sn^ ou que la parallèle m. Donc, si le cercle /ip roule sur la droite IX^ le point de la circonférence qui viendra toucher cette droite fixe au point o décrira la développée de la cycloïde engendrée par le roulement du cercle nmn! sur la droite X'X.

Cette construction montre que le rayon de courbure de la cycloïde développante est nul au point de rebrous<p sèment O^ et qu'au sommet il est égal à oq^ ou au double du diamètre du cercle générateur. Mais oq est aussi égal au demi-arceau de la cycloïde développée, laquelle est superposable à sa développante : donc la longueur d'un arceau de cycloïde vaut quatre fois le diamètre du cercle générateur.

Les propriétés de la cycloïde, qui font l'objet de ce n®, ont été découvertes par Huygens, à propos de ses recherches sur l'application du pendule aux horloges : elles ont conduit cet esprit éminent, d'une part, à la théorie géométrique des développées et des rayons de courbure; de l'autre, à des théorèmes d'une haute importance en mécanique rationnelle; et l'histoire des sciences n'offre pas d'exemple de connexions plus curieuses.