Soient

les équations de deux courbes ayant un point commun (xj^) par suite de l'équation de condition

fx=i^x , (m)

DES COmTkdts DES DIVERS ORDRES. 355

qui subsiste pour la valeur particulière x. On a [99] /(ar+A;F)— cp(^-^Aa?)===[/'(^^-^Aa:)— cpt'(^+eAa?)].A^ , (5) ty 0 désignant des nombres compris entre zéro et Tunité; et si les fonctions y', 9 n'éprouvent pas de solutiotis de continuité dans l'intervalle âe a: k .r-j-A.r , si de plus ^.^' désigne une quantité très-petite du premier ordre [45] , le premier membre de l'équation précédente, ou la différence mi\L^ (fig. 56) des ordonnées p^^r,ptm^j est aussi en général une quantité très -petite du premier ordre.

Mais dans le cas où les deux courbes (/), (ç) se toucheraient en nij c'est-à-dire, auraient en m une tangente commune par suite de l'équation de condition

fxr=^x^ {rn!)

il viendrait

f{x+^x}—<^X'\-^)=[f"{a:-^tr^x)-^"{x■^^,^^)]. ±- : (5')

les nombres f, ,6, (qui di(ïerent en général de t et de 6) devant toujours tomber entre o et 1. Alors, la distance m^ |*x se trouverait être une quantité très-petite de l'ordre de A.r* ou du second ordre.

Il est facile de voir que la distance du point m^ à la ligne (ç), ou la normale m^n^ abaissée du point w^, très-voisin de /w, sur la ligne (<p) passant par m, est en général du même ordre de grandeur que la distance m^n^ : donc cette distance m,n^ est une quantité trèspetite du premier ordre quand la courbe (.<p) ne satisfait qu'à la condition de passer par le point m; et elle devient une quantité très-petite du second ordre, lorsque la courbe (ç) est prise parmi celles qui touchent la rx)urbe {/) au point m.

Donc à fortiori on peut toujours prendre le point m^

îi3.

assez voisin de m y pour que sa distance à la ligne (<p) soit moindre que sa distance à toute autre courbe passant au&si par le point m^ mais qui ne toucherait pas en ce point la courbe (/). On dit alors qu'il y a entre les courbes (/*), (9) un contact du premier ordre.

On peut toujours prendre S.x assez petit pour que les signes des différences

soient respectivement les mêmes que ceux des différences

donc, en vertu de l'équation (^), la différence

/(^+Aa:) — <p(^+Aj;) (A)

changera de signe avec A a:, pour des valeurs suffisamment petites de A^, et la courbe (<p) coupera la courbe (y), lorsqu'elle aura simplement avec (/') le point commun m; au contraire, la valeur de la même différence donnée par l'équation (^') conservera le même signe pour des valeurs de Ax suffisamment petites et de signes contraires, en sorte que la courbe (cp), ayant avec {f) au point m un contact du premier ordre, cessera de couper en m la courbe (/*).

Au lieu du système des équations (//i), (/w') on peut écrire

y^s=(par , /{^-^rdx) =:cp(^H-rfjF) ;

ce qui revient à dire, dans le langage propre à la méthode infinitésimale, que deux courbes [f)^ (f) entre lesquelles existe au point (j:^)un contact dû premier ordre, ont deux points communs infiniment voisins