DES CONTACTS DES DIVERS ORDRES

équations (m), (/w*),

la différence (A) sera donnée par l'équation

et elle deviendra une quantité très-petite du troisième ordre, A a: désignant toujours une quantité très-petite du premier ordre. Dans ce cas, les deux courbes (y), (?) ont non-seulement la même tangente, mais le même cercle osculateur; et par analogie, on dit que ces deux, courbes sont osculatrices l'une de l'autre.

La distance m^n^ devient, comme la différence (a), une quantité très-petite du troisième ordre lorsque les deux courbes s'osculent en m y tandis qu'elle n'était qu'une quantité très-petite du second ordre, lorsqu'on n'assujettissait les deux courbes qu'à la condition de se toucher au même point.

Donc à fortiori on peut prendre le point m, assez voisin de m pour que sa distance à la ligne (<p) osculatrice en m soit moindre que sa distance à toute autre courbe qui toucherait mais n'osculerait pas la c*ourbe (/) au point m. On dit, en conséquepce, que les courbes osculatrices (/*), (<p) ont en m un contact du second ordre.

La différence (A), donnée par l'équation (y), change de signe avec Ax, pour des valeurs absolues de Aj: suffisamment petites : donc la courbe ,osculatrice (<p) coupe en général la courbe (/*) au point m, en même temps qu'elle la touche.

.Au lieu du système des équations (/w), (/»'), (/^'O» ^" peut écrire /a?— <p«=o , rf(/a?— <p^) = o", rf*(/^— ç:r)=z=o ,

358 L1VR5 IV. — CHAPITRE Jlï.

OU

fx=a^x^ /(jp-h«tr)=cp(a:+«tr) , f{x+^dx)==i^X'\'^dx) ; ce qui revient à dire, que deux courbes (y), (9), entre lesquelles existe au point {x^y) un contact du second ordre, ont trois points communs infiniment voisins

205. En généralisant cette analyse on établira, comme conditions d'un contact du rf ordre au point {Xy y) entre les courbes (/.), (<p), les n-[- 1 équations

fx=f]^ , f'x=^x , f"-=s^"x , fi'^)x=f^^'^^X .

Pour des valeurs très-petites du premier ordre attribuées à A a:, la différence {à) devient une quantité trèspetite de l'ordre n-f- '? lorsque le contact au point {po^y) entre les courbes (/), (?) est de l'ordre n : d'où l'on conclut à yor/ib/ï' que le point (jet-}- A.r,^-}-A^) peut être pris assez voisin de {pCyf) sur la courbe (/*), pour que sa distance à la courbe (f) soit moindre que sa distance à toute autre courbe passant aussi par {x^y) , et qui n'aurait en ce point avec la courbe (/) qu'un contact d'un ordre inférieur.

Les lignes {f) , (<p) se coupent ou ne se coupent pas au point (^,/) , selon qu'elles ont en ce point un contact d'ordre pair ou d'ordre impair.

Dans le langage propre à la méthode infinitésimale , on peut dire que deux courbes dont le contact au point {x^y) est de l'ordre n^ ont n points communs, infiniment voisins.

Etant données une courbe (/) entièrement déterminée, et une courbe (?) dans l'équation de laquelle entrent n paramètres arbitraires, on pourra disposer de ces paramètres de manière à établir entre les deux