Désignons par V, jx', v' les angles que fait la

normale au plan osculateur avec des parallèles aux axes des .r, des^ et des z : nous aurons

cos X'=±>--;=====r, cos (x'=± — =====. , cosv'=jr. . -.

Désignons aussi par db l'angle infiniment petit que forment entre elles les normales aux deux plans osculateurs infiniment voisins, dont l'un se rapporte au point (x,^, z) ■ et l'autre au point (x + dx^j- -hrfr, 2 -4- dz) : on aura^ . d'après ce qui vient d'être démontré ,

rfe*z=(rf. cosX7 + (rf. cosjxO*4-(^.cosvO'

(X*4-Y'-FZ')(rfK'+rfY'4-^')— (X^fX+YrfY+Z^ffl)' ~ (X'+Y»4-Z7

(X^— YrfX)»4-(Zt?X-XrfZ)'+(YJZ— Z^Y)' ~ (X'+Y"-hZ")»

On trouve d'ailleurs dyii=dyd^z — dzd^x, dS^=dzd^x — dxd?z ^ dTj=dxd?y — dyd?x ^

xdx—xdyj zdJi—yidz YdL—zdY

dz dy dx

= dz{d^xd^y — d^yd>x) + dy{d^zd}x — d^xd^z) + dx{d^ydH — {^zd^y) , et par suite

cR dz{d^xd}y — d^y^x) 4- dy{d^zd?x — d^xdPz) + dx{d^yd^z — d^zd^f}

ds {dyd'z — dzd'yy.-^- {dzd^x — dxd^zf + {dxd^y — dyd^xf

Or, de même que l'expression

ds p où ûfT désigne l'angle de contingence formé par deux tangentes infiniment voisines, mesure la courbure de la ligne dans son plan osculateur, ou sdi^première courbure^

de même Texpression

dans laquelle rfô désigne l'angle à^ flexion formé .par deux plans osculateurs consécutifs, mesurera [diseœnde courbure de la ligne; ce qui justifie la dénomination de lignes à double courbure^ donnée aux lignes qui ne sont pas planes.

Pour concevoir la rectification d'une ligne à double courbure, on peut imaginer que le premier plan osculateur se rabat sur le second , que ces deux-ci se rabattent sur le troisième, et ainsi de suite, de manière à transformer la ligne en courbe plane ; puis , que la première tangente se rabat sur la seconde, ces deux-ci sur la troisième, et ainsi de suite, de manière à transformer la courbe plane en ligne droite ; sans que la longueur des éléments de la courbe primitive ail été altérée dans cette double opération.

Donc, par une opération en sens inverse ou par deux flexions consécutives, on passerait de la ligne droite à une courbe tracée dans l'espace d'une manière quelconque.

On voit que l'expression de la seconde courbure dépend des différentielles du troisième ordre des coordonnées X yjy z; tandis que celle de la première courbure dépend seulement des différentielles du premier et du second ordre.

231. La seconde flexion s'évanouit et change de signe en général , quand on a

dz{(fxcby — d^yd^x) -^dy[d^zd^x — d^xd'^z)

-f- dxijPyd^z — d^zdy) = o : (e)

on dit alors que la ligne éprouve une inflexion simple. Si cette équation de condition se trouve satisfaite pour

398 LIVEE IV. — • CHA.PITaE V.

toutes les valeurs de x , jr, z, la courbe est plane. . Quand on prend la coordonnée x pour variable indépendante , réquation (e) se ramène à la forme très* simple

D'après les équations (d) et (p.) , la première flexion s'évanouit lorsqu'on a à la fois

X=o,Y=o,Z = o,oug=^=:g. (/)

Ces équations de condition se réduisent à^"=:o , 25"= o, si l'on prend j: pour variable indépendante. Il est évident d'après cela que, quand les équations {/) sont satisfaites, l'équation {e) Test pareillement; mais il n'en faut pas conclure avec quelques auteurs que l'inflexion dans la première courbure , caractérisée par les équations Çf) , entraîne nécessairement l'existence d'une inflexion dou--

ble. Il en résulte seulement que l'expression de -7-, donnée ci-dessus, se présentera sous la forme ^; et afin d'en déterminer plus commodément la vraie valeur, prenons X pour variable indépendante : nous aurons rfe f:^" — :d'f"

Les deux termes de cette fraction s'évanouissent pour ^"=o,z' = o,et il en serait de même de leurs dérivées du premier ordre par rapport à la variable indépendante x; mais si l'on passe aux dérivées du second ordre, il viendra

di~ (/z'" - zYJ + /"* 4- ^"" ' valeur qui ne pourrait devenir indéterminée que si l'on avait à la fois^" = o, 2'"=o, et qui est en général différente de zéro.

DES* LIGNfi8 A l>OUBLE COURBURE. 399

La même chose se voit par une figure; car soient ,/w, /7î, w,, m, (^fig, 70) quatre sommets consécutifs du polygone gauche, à côtés infiniment petits, que l'on substitue à la ligne à double courbure : on peut regarder le plan qui passe par les points ,aw, /tz, /w, , comme le plan osculateur en m, et celui qui passe par les points m, m,, m^^ comme le plan osculateur en m^^ [t^^S]. Ces deux plans se coupent suivant une droite mO, Maintenant rien n'empêche que , sans changer l'inclinaison des deux plans, et en déplaçant seulement leur ligne d'intersection^ on amène' le côté mm^ dans le prolongement du côté ^mm; ce qui fait évanouir l'angle de contingence en m\ tout en conservant à l'angle de seconde flexion sa valeur.

Mais quand les équations {f) sont satisfaites pour toutes les valeurs de ^, /, z, la ligne est droite, et par conséquent Tangle de seconde flexion s'évanouit aussi bien que l'angle de contingence.

232. Une courbe tracée dans l'espace peut être considérée comme l'enveloppe de toutes ses tangentes [189], ou de toutes les droites avec lesquelles sa tangente vient successivement coïncider, en se déplaçant dans l'espace d'après une loi donnée par la forme de la courbe. Mais la réciproque n'est pas vraie ; et une droite qui se meut arbitrairement dans l'espace peut ne pas avoir, et n'a pas en général de ligne enveloppe qu'elle vienne successivement toucher en divers points , dans ses différentes positions. Soient , pour plus de généralité ,

les équations d'une ligne quelconque, équations dans lesquelles Ç, », X, désignent les coordonnées courantes, et a un paramètre arbitraire dont la variation coiltinue détermine les changements continus que la .ligne peut

éprouver dans sa forme et dans sa position : les équations de la ligne enveloppe, si elle existe , sont données en ^, Y), ^ par l'élimination de a entre les deux équations précédentes et leurs dérivées par rapport à « , ^

Mais on aurait ainsi plus d'équations qu'il n'en faut pour déterminer les deux équations de l'enveloppe cherchée ; à moins que la valeur de a en $, y) , ^, tirée des premières équations (a), (a), ne fût égale, pour toutes les valeurs des coordonnées, à celle qu'on obtiendrait *en éliminant a entre les deux dernières équations des mêmes groupes.

Appliquons ceci aux droites d'intersection de deux plans infiniment voisins , normaux à une courbe donnée : ces droites sont évidemment perpendiculaires aux plans osculateurs correspondants ; et l'angle qu'elles forment entre elles , quand elles deviennent infiniment voisines , est précisément celui que nous avons désigné cidessus par (R. Nous avons trouvé [^^27] , pour les équations en $, Y), Ç, de celle de ces droites qui correspond au point (.r,j,z),

{\—x)da: + {y^—y')dx+{X,—z)dz=o , {b)

La variable indépendante ^, dont on conçoit que Xy j-, z sont fonctions [aaa], tient lieu du paramètre variable que nous désignions tout à l'heure par a ; ou , ce qui revient au même, on peut supposer que a varie avec t. Or, nous remarquerons que l'équation {b') a déjà été déduite de l'équation (é) par une différentiation relative à .r,j^, 2, considérés comme fonctions de t. Donc , si Ton difïerentie de nouveau par rapport à t les équations (é) et

{l/)y on n'introduira qu'une équation nouvelle, savoir :

{l—x)éPx+{i\—y)dy + {l—z)d^z — i{dxd^a:+ dyfy+dzd'z) = o ; {b")

et par conséquent nous tombons dans le cas exceptionnel de l'existence d'une enveloppe. Donc il existe une courbe qui a pour tangentes les normales aux plans osculateurs de la première courbe , chacune de ces normales étant l'intersection de deux pians normaux consécutifs. Selon la remarque de Fourier, l'angle de contingence ou de première flexion, sur la seconde courbe, est égal à l'angle de seconde flexion, au point correspondant sur la première courbe; et réciproquement l'angle de contingence de la première courbe est égal à l'angle de seconde flexion au point correspondant de la seconde courbe. Pour établir la réciproque , qui seule a besoin de preuve, nous remarquerons que les tangentes de la première courbe comprennent des angles égaux à ceux que forment les plans normaux, et que le plan normal de la première courbe est le plan osculateur de la seconde. En effet, l'équation {b) est celle du plan normal ; et en vertu des équations (i') , (ô")> cette équation subsiste quand on y remplace XyjyZ par x-^dx^j-^-d/^ z-\- dz f puis par a:-f- ^dx-^-d'x, y -[- '^dy •\- dy, zS^ %dz'\'d^z; de sorte qu'il comprend trois points infiniment voisins pris sur la courbe «dont les coordonnées courantes sont Ç, n , î^.

233. Quand on désigne par $ , in , î les coordonnées du centre de courbure, on a, pour déterminer ces trois coordonnées [^27], les équations {b\ (b')^ et en outre l'équation du plan osculateur

X(Ç— x) + Y(Yi— 7)-4-Z(C— ;3)==o. (c)

Si donc l'on conçoit que les coordonnées .r,^, z et leurs

T. I. Îi6

diffëreutielles des deux premiers ordres aient été exprimées en fonction d'une variable indépendante t^ il n'y aura plus qu'à éliminer Centre ces trois équations pour avoir deux équations en ^, t) , ^ seulement, qui seront celles de la ligne sur laquelle se trouvent tous les centres de courbure de la courbe proposée.

Puisque Ç, tj, ^ sont des fonctions de ^, nous pouvons diflférentier l'équation {h) en faisant tout varier, et ainsi il viendra , à cause de l'équation {b'\

d^dx + éf\dx+dl^dz = o : (g)

d'où il suit que la tangente à la nouvelle courbe , menée par le point (Ç, y), Q, est perpendiculaire à la tangente menée à la courbe proposée, au point (j:,^,z), et comprise dans son plan normal.

De même l'équation

quand on y fait tout varier, et qu'on a égard à l'équation (A), donne

{\ — x)di + {ri—X)Jyi'^{^ — z)dt—^9, d'où l'on tire, en posant ^*-[-rfY)*-[-^r=<^ff%

^d<,— p d<T^ ^ dfT^ p d<T ^^'^

Le second membre de eette dernière équation exprime le cosinus de l'angle que le rayon de courbure p forme avec la tangente à la courbe qui est le lieu des centres de courbure de la proposée. Quand la proposée est plane, cet angle s'évanouit^ et l'on a df:=dt:da. De ce résultat, comparé à l'équation (^), on conclut que le lieu des centres de courbure est en même temps la développée de la courbe proposée.

Pour montrer qu'il n'en est plus de même quand la proposée cesse d'être plane, ou que la direction du rayon

de courbure ne se confond plus avec celle de la tangente à la ligne des centres de courbure, il suffit de prouver que le système des rayons de courbure n'a pas d'enveloppe, ou qu'on ne peut pas tracer dans l'espace une ligne que tous ces rayons viennent toucher.

A cet effet, remarquons que la direction de la droite p est donnée par l'intersection du plan normal et du plan osculateur; qu'ainsi les deux équations de cette droite en ^9 V] ) C sont

(Ç— a:)flfo-4-(4f— j)flÎK + (C— ^)€fe = o, {&) X(5-^) + Y^— 7) + Z(ï— z)=::o. (e)

Pour avoir l'équation de l'enveloppe des droites p, si elle existe, il faut joindre à ces équations leurs dérivées par rapport à la variable indépendante t. On obtient ainsi, en ayant égard à l'équation (c'),

Or, des quatre équations (è), (c), (ù") et (c\) on déduit, par l'élimination des binômes Ç — œ, ^— 7*? K — z, une équation de condition à laquelle doivent satisfaire les coordonnées J?,^, z et leurs ^différentielles, pour que les droites p puissent avoir une enveloppe. Par. exemple, les équations (i), (c)^ (b') donnent les valeurs de Ç — jc, ti—jy ^ — 2, déjà écrites au n° aa8, et ces valeurs, substituées dans l'équation (c',), la rendent identique avec l'équation (^), laquelle exprime, comme on l'a vu, que la proposée est une courbe plane, quand elle est vérifiée pour toutes les valeurs de Xyj^ z.

On arriverait au même résultat , mais moins simplement , en exprimant que le second membre de {g^ dpit se réduire à l'unité pour toutes les valeurs de x, j^ z.

De ce que la ligne des centres de courbure n'est plus

une développée quand la courbe proposée cesse d'être plane, il ne faudrait pas conclure que les lignes à double courbure ne peuvent avoir de développées : mais comme la construction des développées, pour les lignes à double courbure, se rattache à la théorie des sur&ces courbes, nous n'en traiterons que plus loin.

234. Appliquons les formules données dans ce chapitre à la ligne désignée sous le nom ShéUce, qui est tracée sur la surface d'un cylindre droit à base circulaire , de manière que la tangefite à la courbe forme un angle constant avec les génératrices du cylindre, ou (ce qui revient au même) de manière que la courbe se change en ligne droite par le développement de la surface cylindrique sur un plan. Soient R le rayon du cylindre dont nous supposerons que l'axe se confond avec celui des z; f l'angle compris entre le plan ^s ^^ et celui des plans menés par l'^xe dans lequel se trouve le point {x^y^z) de la courbe; a la tangente trigonométrique de l'angle constant formé par la tangente à la courbe avec la génératrice du cylindre : la définition de l'hélice donnera immédiatement

j7z=R cos <p , /= Rsin (p , z=: aR(p ; (A)

du moins en admettant qu'on a fait passer l'axe des x par le point où l'hélice pénètre le plan xy.

On en conclut, pour les équations en coordonnées rectangulaires des projections de la courbe sur les plans desxz et des ^2,

x = Rcos^,jr=Rsin^; (A.)

quant à l'équation de la projection de la courbe sur le plan xjr^ elle se confond évidemment avec celle de la trace du cylindre

On aurait encore Téquation

^ = tang^, (A,)

qui est celle de la surface engendrée par une droite qui se mouvrait en restant parallèle au plan xy, de manière à s'appuyer constamment sur l'hélice et sur l'axe du cylindre.

Il est bon de remarquer que le système des équations {h^ ne représente qu'une seule hélice , savoir celle qui est définie au moyen de l'angle ç par les équations (A); tandis que le système des équations (A^), (Aj), ou celui qui serait formé de la combinaison de l'équation (A3) avec l'une des équations (A,), sont propres à représenter en outre l'hélice qu'on obtiendrait en renplaçant , dans les équations (A),ç par 'îî-j'?- Cette superfétation qui a lieu pour certains systèmes de projections et non pour d'autres, est analogue à celle que nous avons signalée à propos de la cycloïde [ 1 76] .

On trouve pour les équations de la tangente

sin «p cos ^ a '

et pour celle du plan normal

(Ç — .ir)sincp-^(tl — j)cos<p — .a(C — z)z=zo . On en conclut que le plan normal forme un angle constant avec celui des a;/, ce qui ressort d'ailleurs de la définition de la courbe.

Les coordonnées Ç, yi du point où la tangente à l'hélice au point (^,/, 2) pénètre le plan xjy sont données par les équations

5 — ^a?=~sin <p = Rcp sin (p , ti-7j':=>— cos ç = — R(p cos <p ,

d'où Ton tire

(J-ar)' + (,,jr)«=RV. Soient A/wBA(y^. 71) Fintersection du cylindre et d(i plan xjr; A le point où l'hélice pénètre ce plan; /W(i, la projection de la tangente à l'hélice au point qui se projette en m sur le plan xy; \k le point où cette tangente pénètre le plan : la droite m\f. touchera le cercle en m; et il résulte de l'équation précédente que la portion de droite /72(a a la même longueur que l'arc A//2. Donc, si la tangente à l'hélice se meut en touchant constamnient cette courbe, le point (i. où elle pénètre le plan xj décrit sur ce plan une développante du cercle donné par l'intersection du cylindre et du plan : et la développante a son rebroussement [221] au point où le plan est pénétré par l'hélice.

235. On a, en prenant l'angle 9 pour variable indépendante, ce qui est conforme à la nature delà courbe,

dx=. — Rsin<p</9, <^=Rcosf</^, dzz=^a'RAf ; é?ar= — Rcos^^*, ^z=z — Rsinfd^c^, d^zzzzo ; £^ar = Rsincp^(p', </y= — Rcos^<p', d^z=io .

Désignons de plus par i l'angle constant dont la tangente est a : il viendra

ds = :A, d*sz=.o ;

cos « ^ '

au moyen de quoi la formule (p>) donnera pour la mesure de la première courbure

I cos* i

et l'on aura aussi pour la mesure de la seconde courbure, d'après les formules du n? ià3o,

d^ sinicosi

L'équatioa du plan osculatear derieiit

tangi [(( — x)sîn(p — (ij — /)cos^]+C — zz=:o^

ou plus simplement, en vertu des équations (A),

C — z=a(v)cosf — Çsin^) ;

et Ton reconnaît qu'il a une inclinaison constante sur celui des xj".

On a pour les coordonnées Ç^ti,^ du centre de courbure

Ç= — a'Rcos(p,Yi = — a*Rsin(p, i; = aRf, (ti)

valeurs tout à fait analogues à celles de jc, y^ z en fonction de f , et qui montrent que la ligne des centres de courbure est une seconde hélice, tracée sur un cylindre qui a aussi pour axe l'axe des z et dont le rayon est a'R* D'ailleurs cette ligne se trouve , comme la première hélice, sur la surface déBnie par l'équation (A3); et comme les équations (A), (») donnent les mêmes valeurs pour z et pour ^, il s'ensuit que les deux hélices ont le même paSyOVL que les variables z, ^ reçoivent le même accroissement quand l'arc f augmente d'une circonférence.

Il résulte encore de la comparaison des équations (A), (yî) que le rayon de courbure p est dirigé suivant le rayon du cylindre (Aa) ou suivant la droite mobile qui décrit la surface (A3); et par conséquent qu'il coupe à angle droit' l'axe de l'hélice. Comme on a de plus

ûra = ±Rsin* . cT^, p = conse. ,

on conclut en outre de la formule (g^) que le rayon p coupe à angle droit la tangente à la ligne des centres de courbure. Au surplus, ceci résulte sans calcul de ce que p est dirigé suivant le rayon du cylindre sur lequel est placée la seconde hélice, lieu des centres de courbure.

Appelons Ç , ti , ^ les coordonnées courantes de la tangente a la courbe dont il s^agit, menée par le point ( a:, /^ z): les équations de cette tangente seront [^23]

Si donc on élimine entre elles ^', i'équation résultante appartiendra à la surface sur lac^uelle se trouvent toutes les tangentes que Ton peut mener, par le point (x, j^, 2), aux courbes quelconques tracées sur la surface donnée. L'élimination donne

Ç— z=/?(ï— J7)H-î(ij— 7), (2)

équation d'un plan qui aurait ^ 9 v) , ^ pour coordonnées courantes, et auquel ou donne le nom de plan tangent, parce qu'il est le lieu de toutes les tangentes des courbes tracées §ur la surface, et passant par le point de contact.

La proposition cesserait en général d'être exacte , si les deux fonctions/)^ q, ou seulement l'une d'entre elles^ après avoir été ramenées à ne contenir que a: et y, au moyen de la valeur de ^ en ^^ ^, donnée par l'équation de la sur&ce , se présentaient sous Tune des formes indéterminées ^, :; : car alors [1 89] les valeurs dejp, q dépendent en général de la liaison entre jr eX. Xy ou sont fonctions de y. On ne peut donc plus éliminer^ entre les équations ( I ) tant que la composition des fonctions p^ q en /' n'est pas donnée; et lorsqu'elle l'est, l'élimination ne conduit plus en général à une équation linéaire en ^, y),C Le point (.r, y y z) est alors un point saillant de la surface donnée , et le lieu des tangentes devient une surface conique, c'est-à-dire, une surface du genre de celles que décrit une droite en tournant d'une manière quelconque autour d'un point 6xe..Si, par exemple, on &it tourner un arc de cercle , moindre qu'une demi - cir-