DES PLANS TANGENTS

conférence, autour de sa corde , les deux points extrêmes de Tare sont des points saillants de la surface engendrée par ce mouvement de rotation , et le lieu des tangentes aux courbes tracées sur la surface , à partir de chacun de ces points y est la sur&ce d'un cône droit.

Le plan tangent peut n'avoir qu'un point de corn» mun avec la surface, ce qui est une propriété des surfaces convexes en tous leurs points , comme celles de la sphère et de l'ellipsoïde. Mais plus généralement ce plan peut couper la surface, et même la couper suivant une ligne passant par le point de contact , ce qui n'empêche pas qu'il ne soit le lieu des tangentes à toutes les courbes tracées en ce point sur la surface. .Cette ligne d'intersection sépare sur la surface les lignes qui s'élèvent audessus du plan tangent de celles qui s'abaissent au-dessous du même plan.

Par exemple, si le cercle MNM'N' {Jig. 73 ) tourne autour de la droite PP' comprise dans son plan , il engendre une surface connue sous le nom (Fanneau ou de surface annulaire : dans la portion de la surface engendrée par la rotation du demi-cercle MNM' le plan tangent n'a qu'un point de commun avec la surface , tandis que dans l'autre portion , engendrée par la rotation du demi-cercle MN'M% la surface est coupée par son plan tangent.

237. Soit F {Xfjr, z)=o l'équation de la surface, et exprimons les dérivées p, g au moyen des dérivées partielles de la fonction F : l'équation du plan tangent deviendra

c'est-à-dire qu'on la déduit de ^=0 , en remplaçant les

différentielles dx , dy, dz parles différences Ç — ^x , » — j^

La droite menée par le point de contact, perpendiculairement au plan tangent , est la normale à la surface, et les plans qui comprennent la normale se nomment plans normaux. L'intersection de la surface et de l'un quelconque de ses plans normaux est qualifiée de section normale y et, par opposition, les autres sections planes de la surface sont appelées sections obliques.

Les deux équations da la normale se tirent de la formule

dF ~ dF ~ dF ' dx dy , dz

ou

Pi Soient X, [jl, v les angles de la normale avec des parallèles aux axes des x^j^ z, ces angles étant mesurés du coté des coordonnées positives, et posons

nous aurons

I rfF I rfF

COSX = — 7==== , COS(X=-— = ^ , COS V = ,.""'"'

l^i-hp+y* V^W^ l/i+/?'+y"

Les lettres X, (jl, v désignent encore les angles du plan tangent avec ceux des ^2 , des xz et des xy. Toutes ces f(M*mules sont d'un usage très-fréquent.