DE LA CLASSIFICATION DES FONCTIONS

([Qes de j: de plus en plus petites, au lieu qu'elle tend encore à devenir égale à l'unité pour des valeurs numé- I riques de oc de plus en plus grandes.

On appelle points darrét ceux où une branche de coarbe, transcendante ou empirique, s'arrête ainsi brusijaement. Si deux branches disjointes , NM , M'N' {fig. ]), avaient une commune ordonnée PMN% en sorte que la fonction représentée par l'ordonnée de la courbe pas- I sât brusquement de la valeur PM à la valeur PM', les points M , M' seraient des points de rupture. Les fonctions algébriques , ne pouvant avoir de points d'arrêt , ne peuvent avoir de points de rupture, ni par conséquent éprouver d'autres^sojutions de contijiuité que celles qui : proviennent du passage par Tinfini ; au lieu que les fonc- \ lions transcendantes peuvent être sujettes aux solutions ; de contiguité^gui proviennent du j)assage brusque d'une., valeur finie à une autre.

17. SI la théorie des fonctions a plus de généralité «\ue l'algèbre, en ce sens qu'on y traite de propriétés communes aux fonctions algébriques et transcendantes , et même à celles qui ne comportent aucune définition mathématique , d'un autre côté cette théorie reçoit une extension qui, primitivement, n'a de sens qu'en algèbre : pore, et pour les fonctions susceptibles d'une expression '; algébrique. Cette^xtension consiste à tenir compte des ! ^ valeurs imaginaires que prend une fonction exprimée ' algébriquement, quand la variable dont elle dépend passe par des valeurs réelles situées en deçà ou au delà de certaines limites, comme, par exemple, quand la va<^ ' fiable x devient > i dans la fonction ^ 7 = a; + l/^i—iT

Elle consiste en outre à admettre que la variable indé-

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pendante peut elle-même passer par une succession de valeurs imaginaires. A la vérité, pour se faire l'idée d'un semblable passage , il faut considérer cette seconde variable, dont la première est fonction, comme dépendant à son tour d'une troisième variable qui passe par une^ suite de valeurs réelles. Soient t cette dernière variable, X celle qui en dépend immédiatement, ^ une fonction de X : désignons aussi par t^, ^o> ^o? ^^ ^i» Xn deux systèmes de valeurs correspondantes pour ces trois variables; t^j tj étant des quantités réelles, tandis que a;^^ Xo9 ^ij Xr peuvent être des quantités réelles ou imaginaires. Il est clair que , pendant que t passe de la valeur t^ à la valeur t^ , en prenant toutes les valeurs réel- I les intermédiaires, x peut passer de la valeur x^ à la ! valeur x^ par une suite^de valeurs imaginaires, suite < déteiminée en vertu de la liaison algébrique entre t et a:, et à laquelle correspondra une suite également déi terminée de valeurs réelles ou imaginaires pour y. Au j contraire, comme il n'y a pas d'ordre naturel et déter- I miné de grandeur entre les quantités imaginaires , rien ne fixerait la série de valeurs imaginaires par lesquelles X peut passer, en allant de la valeur x^ à la valeur x^ , si l'on n'établissait une dépendance déterminée, directe ou indirecte, entre x et une autre variable qui passe d'une valeur réelle à une autre, par la série des valeurs réelles intermédiaires.

Nous verrons plus tard que, non*seulement les fonctions algébriques, mais encore les fonctions exponentielles, logarithmiques et trigonométriques acquièrent une signification et une valeur réelle ou imaginaire déterminées, lorsqu'on fait passer par des valeurs imaginaires les variables qui entrent dans la composition de

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cesfoDCtioDs : par conséquent, les remarques qui font l'objet de ce numéro s'appliquent à toutes les fonctions iljébriques ou transcendantes que nous connaissons Jfjà.

18. On vient de dire comment les analystes classent les fonctions, d'après le mode de leur expression mathématique : mais les fonctions sont également susceptibles ifetre classées d'après les formes mêmes qu elles affeclent ou qu'affectent les courbes qui les représentent; et cette classification peut comprendre aussi bien les foQctioDs empiriques que les fonctions algébriques ou transcendantes. Au reste, il ne s'agit pas ici d'établir une classification méthodique et complète, comme celles qui sappliqueot (en histoire naturelle, par exemple) à des objets dont le nombre est limité, mais seulement de »;naler certaines classes de fonctions, distinguées par As caractères généraux.

h premier lieu, nous consî^^?rerons les fonctions paî' j r^ietles fonctions impaires. Oi. appelle fonctions paires | celles qui prennent les mêmes valeurs quand on attribue | lia variable indépendante des valeurs égales et de signes j contraires, ou celles qui sont représentées, dans un sys- ^e de coordonnées orthogonales , par des courbes «ymétriques relativement à l'axe des ordonnées. Telles »flt, parmi les fonctions algébriques, celles qui ne renferment que des puissances paires de la variable, comme . i^jl/j - j4 - et de là leur vient le nom de fonctions . P^, qu'on peut appliquer à toutes les fonctions qui . présentent la même analogie de forme, bien qu'elles ne > <^mporteat pas d'expression algébrique. La fonction } ^fonométrique cos x est paire, puisqu'on est conduit j ^trigonométrie à regarder le cosinus d'un arc négatif ■

comme ayant la même valeur numérique et le même signe que le cosinus du même arc pris positivement.

Par opposition, on appelle fonctions impaires celles

qui ont des valeurs numériquement égales et opposées

; de signes^ pour des valeurs de la variable indépendante

égales et de signes contraires. Telles sont, parmi les

fonctions algébriques, — , xl/T~+~^. D'après cette

définition , sin x et tang x sont aussi des fonctions impaires. Une fonction impaire doit être nulle quand x=o, à moins qu'elle n'éprouve une solution de continuité correspondante à cette valeur de x. Tel est le cas des fonctions impaires

^^"^^ cotx.

Une foactiou quelconque peut être considérée comme la somme de deux fonctions, l'une paire, l'autre impaire. Soit effectivement / la caractéristique d'une fonction quelconque : on pourra poser

et alors <p (x) sera évidemment une fonction paire , ^ (x) une fonction impaire de x, quelle que soit d'ailleurs la forme de f{x). Or, on tire de ces deux équations

f(x) = <f(x)+^^{x), ce qui démontre la proposition énoncée.

19. On appelle fonctions périodiques celles qui reprennent périodiquement les mêmes valeurs, pour des valeurs de la variable indépendante séparées par des intervalles égaux. La grandeur de ces intervalles mesure l'étendue de la période. Ainsi, l'on est conduit^