CHAPITRE VIII

DES SURFACES EUrVELOPPtS.

257. La théorie des courbes enveloppes [i8a et suw.^ se généralise et s*étend aux surfaces , mais avec des modifications essentielles qui tiennent au fond du sujet.

Soit

l'équation d'une surface courbe , dans laquelle entre le paramètre a. En assignant une suite de valeurs à ce paramètre, on a une suite de surfaces de même espèce, qui en général se pénètrent suivant certaines lignes. Considérons en particulier deux de ces surfaces

F(^, 7, 2, a)=ro, F(^,7, ^, a4-Aa) = o : par le décroissement continuel et indéfini de la variation Âa , la ligne d'iutersection se déplace sur la première surface ; elle se rapproche de plus en plus d'une autre ligne donnée par le système de l'équation (F) et de sa dérivée

Monge a donné à la ligne ainsi déterminée le nom de caractéristique.

Les équations de la caractéristique contiennent le paramètre a , et varient pour chacune des surfaces , en nombre infini, que l'équation (F) représente, tant que a reste indéterminé. Si l'on élimine a entre les équations (F), (F'), ou aura une troisième équation

et celle-ci appartiendra à une surface qui peut être considérée comme le lieu de toutes les caractéristiques.

Pour tous les points situés sur une même caractéristique , la surface (d>) a le même plan tangent que celle des surfaces (F) à laquelle cette caractéristique correspond. £n effet, Téquation du plan qui touche cette dernière surface au point (a:, jr, 2), est

dP ,. . oF , » oF ,v \ f \

d'ailleurs, comme réquation(^) n'est autre chose que l'équation (F) où l'on a mis pour a sa valeur en ^ , ^, z, tirée de l'équation (F') , l'équation du plan tangent à la surface (^) peut être mise sous là forme /dF dF d%\f^ \ /dF dF da\ f \

/dF dF doL\/ \

et elle se réduit à l'équation (a) en vertu de (F').

La surface (^) jouit donc de la propriété de toucher ou d'envelopper les surfaces en nombre infini , dont la série est donnée par la variation continue du paramètre a dans l'équation (F). On donne en conséquence à cellesci le nom d^em^eloppées et à la surface qui les touclie le nom d^ençeloppe. Chaque caractéristique est la ligne de contact de l'enveloppe avec une enveloppée.

11 peut arriver que les caractéristiques deviennent imaginaires, quand le paramètre a a dépassé certaines limites, quoique, pour les mêmes valeurs de a, l'équation (F) continue de représenter des surfaces réelles, qui alors ne sont plus touchées par Tenveloppe, et auxquelles la dénomination d'enveloppées ne s'applique plus que par extension. Ce cas est analogue à celui que nous

avons signalé en traitant de l'enveloppement des courbes planes [j 84]-

Le système des éc[uations (F) , (F') , et

quand elles ne sont pas inconciliables, détermine le point où une caractéristique est rencontrée par la caractéristique infiniment voisine ; et l'élimination de a entre ces trois équations donne les deux équations de l'arête de rebroussemeut de la surface enveloppe décrite par le mouvement de la caractéristique [246]. Enfin, si l'on joint à (F), (F), (F") iPF

on p/sut chasser a et déterminer individuellement les coordonnées x, /*, z d'un point situé sur l'arête de rebroussemeut', et qui est en général un point singulier de cette arête.